Calcular os seguintes limites de funções vetoriais:

Passo 1

Beleza, vamos resolver um limite de uma função vetorial. Isso significa que temos várias funções juntas e queremos saber o que acontece com elas quando a variável, no caso , se aproxima de 0. Para fazer isso, precisamos calcular o limite de cada componente da função separadamente. Vamos precisar das regras de limites para funções trigonométricas, exponenciais e logarítmicas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite de quando tende a 0. A função arctangente é contínua em todos os pontos do seu domínio, então podemos simplesmente substituir por 0:

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite de quando tende a 0. A função exponencial também é contínua, então substituímos por 0:

Passo 4

Por último, vamos calcular o limite de quando tende a 0. Aqui, devemos ter cuidado porque só está definido para . Então, consideraremos o limite quando se aproxima de 0 pela direita ( ).
Sabemos que tende a quando tende a 0, e tende a 0. Então, temos uma forma do tipo , que resulta em :

Resposta

Exercícios relacionados

Seja uma função vetorial e um vetor fixo (constante) do espaço. Mostre que se, e só se, .
Sejam e , com e e . Calcular:
Determinar o comprimento de arco das seguintes curvas:
Considere e duas funções vetoriais e uma função real, definidas em um mesmo intervalo I. Mostre que, se e , então: