Calcular os seguintes limites de funções vetoriais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver um limite de uma função vetorial. Isso significa que temos várias funções juntas e queremos saber o que acontece com elas quando a variável, no caso
, se aproxima de 0. Para fazer isso, precisamos calcular o limite de cada componente da função separadamente. Vamos precisar das regras de limites para funções trigonométricas, exponenciais e logarítmicas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o limite de quando
tende a 0. A função arctangente é contínua em todos os pontos do seu domínio, então podemos simplesmente substituir
por 0:
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite de
quando
tende a 0. A função exponencial também é contínua, então substituímos
por 0:
Passo 4
Por último, vamos calcular o limite de
quando
tende a 0. Aqui, devemos ter cuidado porque
só está definido para
. Então, consideraremos o limite quando
se aproxima de 0 pela direita (
).
Sabemos que
tende a
quando
tende a 0, e
tende a 0. Então, temos uma forma do tipo
, que resulta em
:
Resposta
Exercícios relacionados
Seja
uma função vetorial e
um vetor fixo (constante) do espaço. Mostre que
se, e só se,
.
Sejam
e
, com
e
e
. Calcular:
Determinar o comprimento de arco das seguintes curvas:
Considere
e
duas funções vetoriais e
uma função real, definidas em um mesmo intervalo I. Mostre que, se
e
, então: