Calcular os seguintes limites de funções vetoriais:
lim t 0(arctg t, e^-2 t, ln tt)

Passo 1

Beleza, vamos resolver um limite de uma função vetorial. Isso significa que temos várias funções juntas e queremos saber o que acontece com elas quando a variável, no caso , se aproxima de 0. Para fazer isso, precisamos calcular o limite de cada componente da função separadamente. Vamos precisar das regras de limites para funções trigonométricas, exponenciais e logarítmicas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite de quando limt to 0 arctg , t = arctg , 0 = 0 tende a 0. A função arctangente é contínua em todos os pontos do seu domínio, então podemos simplesmente substituir por 0:

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite de limt to 0 e^-2t = e^0 = 1 quando tende a 0. A função exponencial também é contínua, então substituímos por 0:

Passo 4

Por último, vamos calcular o limite de limt to 0^+ ln tt = -infty quando tende a 0. Aqui, devemos ter cuidado porque só está definido para . Então, consideraremos o limite quando se aproxima de 0 pela direita ( ).
Sabemos que tende a quando tende a 0, e tende a 0. Então, temos uma forma do tipo , que resulta em :

Resposta

lim t 0(arctg , t, e^-2 t, ln tt) = (0, , 1, , -infty)

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