Seja uma função vetorial e um vetor fixo (constante) do espaço. Mostre que se, e só se, .

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma função vetorial com componentes , e , e um vetor fixo com componentes , e . A tarefa é mostrar que o limite de quando se aproxima de é igual a se, e somente se, os limites de cada componente são iguais a para . Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites de funções vetoriais e limites de funções escalares.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa o limite de uma função vetorial. Dizemos que:
quando cada uma das componentes de tem o limite correspondente igual à componente de . Ou seja:

Passo 3

Vamos provar essa equivalência em duas partes: se o limite vetorial existe e iguala , então os limites das componentes também existem e igualam as componentes de , e vice-versa.
Primeiro, suponha que:
Isso implica diretamente que:
Segundo, suponha que:
Então, combinando essas componentes, temos:

Passo 4

Assim, mostramos que o limite da função vetorial ser igual a é equivalente a cada limite das componentes ser igual a . Isso confirma a condição “se, e somente se” do enunciado.

Resposta

Portanto, se, e somente se, para .

Exercícios relacionados

Sejam e , com e e . Calcular:
Dada a função vetorial , determinar . Esboce a curva C, cujos pontos têm como vetor posição, e calcule os vetores tangentes e .
Calcular os seguintes limites de funções vetoriais:
Determinar o comprimento de arco das seguintes curvas: