Seja
uma função vetorial e
um vetor fixo (constante) do espaço. Mostre que
se, e só se,
.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma função vetorial
com componentes
,
e
, e um vetor fixo
com componentes
,
e
. A tarefa é mostrar que o limite de
quando
se aproxima de
é igual a
se, e somente se, os limites de cada componente
são iguais a
para
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites de funções vetoriais e limites de funções escalares.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa o limite de uma função vetorial. Dizemos que:
quando cada uma das componentes de
tem o limite correspondente igual à componente de
. Ou seja:
Passo 3
Vamos provar essa equivalência em duas partes: se o limite vetorial existe e iguala
, então os limites das componentes também existem e igualam as componentes de
, e vice-versa.
Primeiro, suponha que:
Isso implica diretamente que:
Segundo, suponha que:
Então, combinando essas componentes, temos:
Passo 4
Assim, mostramos que o limite da função vetorial
ser igual a
é equivalente a cada limite das componentes
ser igual a
. Isso confirma a condição “se, e somente se” do enunciado.
Resposta
Portanto,
se, e somente se,
para
.
Exercícios relacionados
Sejam
e
, com
e
e
. Calcular:
Dada a função vetorial
, determinar
. Esboce a curva C, cujos pontos têm
como vetor posição, e calcule os vetores tangentes
e
.
Calcular os seguintes limites de funções vetoriais:
Determinar o comprimento de arco das seguintes curvas: