Seja f(t)=f1(t) imath+f2(t) jmath+f3 jmath uma função vetorial e a=a1 imath+a2 jmath+a3 k um vetor fixo (constante) do espaço. Mostre que lim t t0 f(t)=a se, e só se, lim t t0 fi(t)=ai, i= 1,2,3.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma função vetorial com componentes , e , e um vetor fixo com componentes , e . A tarefa é mostrar que o limite de quando se aproxima de é igual a se, e somente se, os limites de cada componente são iguais a para . Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites de funções vetoriais e limites de funções escalares.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa o limite de uma função vetorial. Dizemos que:
limt to t0 f(t) = a
quando cada uma das componentes de limt to t0 f1(t) = a1, limt to t0 f2(t) = a2, limt to t0 f3(t) = a3 tem o limite correspondente igual à componente de . Ou seja:

Passo 3

Vamos provar essa equivalência em duas partes: se o limite vetorial existe e iguala limt to t0 f(t) = a , então os limites das componentes também existem e igualam as componentes de limt to t0 fi(t) = ai para i=1,2,3 , e vice-versa.
Primeiro, suponha que:
limt to t0 fi(t) = ai para i=1,2,3
Isso implica diretamente que:
limt to t0 f(t) = a
Segundo, suponha que:
Então, combinando essas componentes, temos:

Passo 4

Assim, mostramos que o limite da função vetorial ser igual a é equivalente a cada limite das componentes ser igual a . Isso confirma a condição “se, e somente se” do enunciado.

Resposta

Portanto, se, e somente se, para .

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