Determinar o comprimento de arco das seguintes curvas:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o comprimento de arco da curva definida por no intervalo de de 0 a 1. Isso está relacionado ao conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente na parte de comprimento de curvas paramétricas. Para resolver, vamos precisar usar a fórmula do comprimento de arco para curvas definidas por vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de arco de uma curva vetorial . A fórmula é:
Aqui, representa o módulo da derivada do vetor posição, ou seja, a velocidade da curva no ponto .
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada de em relação a . Temos:
Calculando cada componente:
Para a primeira componente:
Para a segunda componente:
Para a terceira componente:
Então, a derivada fica:
Passo 4
Agora, vamos calcular o módulo dessa derivada, que é:
Vamos simplificar isso passo a passo:
Primeiro, expanda os quadrados:
Somando esses dois resultados:
Pois .
Então, o módulo fica:
Passo 5
Agora, vamos colocar tudo na fórmula do comprimento de arco:
Esse é o integral que representa o comprimento de arco da curva no intervalo dado.
Resposta
O comprimento de arco da curva no intervalo de de 0 a 1 é dado por: