Determinar o comprimento de arco das seguintes curvas:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o comprimento de arco da curva definida por no intervalo de de 0 a 1. Isso está relacionado ao conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente na parte de comprimento de curvas paramétricas. Para resolver, vamos precisar usar a fórmula do comprimento de arco para curvas definidas por vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de arco de uma curva vetorial . A fórmula é:
Aqui, representa o módulo da derivada do vetor posição, ou seja, a velocidade da curva no ponto .

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de em relação a . Temos:
Calculando cada componente:
  • Para a primeira componente:
  • Para a segunda componente:
  • Para a terceira componente:
Então, a derivada fica:

Passo 4

Agora, vamos calcular o módulo dessa derivada, que é:
Vamos simplificar isso passo a passo:
Primeiro, expanda os quadrados:
Somando esses dois resultados:
Pois .
Então, o módulo fica:

Passo 5

Agora, vamos colocar tudo na fórmula do comprimento de arco:
Esse é o integral que representa o comprimento de arco da curva no intervalo dado.

Resposta

O comprimento de arco da curva no intervalo de de 0 a 1 é dado por:

Exercícios relacionados

Calcular os seguintes limites de funções vetoriais:
Seja uma função vetorial e um vetor fixo (constante) do espaço. Mostre que se, e só se, .
Considere e duas funções vetoriais e uma função real, definidas em um mesmo intervalo I. Mostre que, se e , então:
Determinar a derivada das seguintes funções: