Considere
e
duas funções vetoriais e
uma função real, definidas em um mesmo intervalo I. Mostre que, se
e
, então:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de cálculo envolvendo funções vetoriais e limites. A gente precisa mostrar que o limite do produto escalar de duas funções vetoriais, quando
se aproxima de
, é igual ao produto escalar dos limites dessas funções. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são funções vetoriais, o que é um produto escalar e como os limites funcionam nessas situações.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função vetorial. Uma função vetorial, como
ou
, é uma função que associa cada valor de
a um vetor em um espaço, geralmente
. Por exemplo,
.
Passo 3
Agora, o produto escalar (ou dot product) entre duas funções vetoriais
e
é definido como:
Isso significa que a gente está somando os produtos das componentes correspondentes dos vetores.
Passo 4
Vamos lembrar também das propriedades dos limites. Se
e
, então, sob certas condições, o limite do produto escalar das funções é o produto escalar dos limites:
Passo 5
Vamos aplicar essa propriedade ao nosso exercício. Sabemos que:
Então, pelo que vimos, podemos afirmar que:
Resposta
Portanto,
Exercícios relacionados
Determinar o comprimento de arco das seguintes curvas:
Calcular os seguintes limites de funções vetoriais:
Determinar a derivada das seguintes funções:
Se
, mostre que