Considere e duas funções vetoriais e uma função real, definidas em um mesmo intervalo I. Mostre que, se e , então:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de cálculo envolvendo funções vetoriais e limites. A gente precisa mostrar que o limite do produto escalar de duas funções vetoriais, quando se aproxima de , é igual ao produto escalar dos limites dessas funções. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são funções vetoriais, o que é um produto escalar e como os limites funcionam nessas situações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função vetorial. Uma função vetorial, como ou , é uma função que associa cada valor de a um vetor em um espaço, geralmente . Por exemplo, .

Passo 3

Agora, o produto escalar (ou dot product) entre duas funções vetoriais e é definido como:
Isso significa que a gente está somando os produtos das componentes correspondentes dos vetores.

Passo 4

Vamos lembrar também das propriedades dos limites. Se e , então, sob certas condições, o limite do produto escalar das funções é o produto escalar dos limites:

Passo 5

Vamos aplicar essa propriedade ao nosso exercício. Sabemos que:
Então, pelo que vimos, podemos afirmar que:

Resposta

Portanto,

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Determinar o comprimento de arco das seguintes curvas:
Calcular os seguintes limites de funções vetoriais:
Determinar a derivada das seguintes funções:
Se , mostre que