Calcular os seguintes limites: lim x +infty 3 x^2+5 x-4x^3+7 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A gente tem que calcular:
limx +infty 3x^2 + 5x - 4x^3 + 7x
Aqui, estamos trabalhando com limites no infinito, que é um conceito de Cálculo Diferencial. Nosso objetivo é descobrir o comportamento dessa função quando cresce indefinidamente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o grau do polinômio no numerador e no denominador. No numerador, o termo de maior grau é (grau 2) e no denominador é (grau 3).

Passo 3

Quando temos limites de funções racionais (frações de polinômios) à medida que vai para o infinito, o comportamento é dominado pelo termo de maior grau em cada polinômio. Portanto, podemos simplificar a expressão dividindo todos os termos pelo maior grau encontrado, que nesse caso é .

Passo 4

Vamos dividir cada termo do numerador e do denominador por 3x^2 + 5x - 4x^3 + 7x = 3x^2x^3 + 5xx^3 - 4x^3x^3x^3 + 7xx^3 :
= 3x + 5x^2 - 4x^31 + 7x^2
Simplificando cada termo:

Passo 5

Agora, vamos analisar o que acontece quando limx +infty 3x + 5x^2 - 4x^31 + 7x^2 = 0 + 0 - 01 + 0 = 01 = 0 tende ao infinito. Sabemos que:
  • tende a 0 quando tende ao infinito.
  • O mesmo vale para e .
Aplicando isso na nossa expressão:

Resposta

O limite é igual a 0.

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