Calcular os seguintes limites:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite
. Esse exercício envolve os conceitos de limites e funções exponenciais e trigonométricas. Para resolver, vamos precisar entender como as funções
e
se comportam quando
se aproxima de zero.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento de cada função no numerador e no denominador quando
se aproxima de 0. Sabemos que:
-
Para a função cosseno, temos a expansão de Taylor em torno de 0:
-
Para a função exponencial, a expansão de Taylor é:
Passo 3
Substituindo essas aproximações na expressão original, temos:
Simplificando:
Passo 4
Agora, simplificamos a fração:
Isso significa que, à medida que
se aproxima de 0, a expressão tende a
.
Resposta
O limite
é igual a
.