Calcular os seguintes limites: lim t 0 cos t-1e^t-t-1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite lim t 0 cos t-1e^t-t-1. Esse exercício envolve os conceitos de limites e funções exponenciais e trigonométricas. Para resolver, vamos precisar entender como as funções cos t e e^t se comportam quando t se aproxima de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento de cada função no numerador e no denominador quando t se aproxima de 0. Sabemos que:
  • Para a função cosseno, temos a expansão de Taylor em torno de 0:
    cos t approx 1 - t^22
  • Para a função exponencial, a expansão de Taylor é:
    e^t approx 1 + t + t^22

Passo 3

Substituindo essas aproximações na expressão original, temos:
cos t - 1e^t - t - 1 approx (1 - t^22) - 1(1 + t + t^22) - t - 1
Simplificando:
-t^22t^22

Passo 4

Agora, simplificamos a fração:
-t^22t^22 = -1
Isso significa que, à medida que t se aproxima de 0, a expressão tende a -1.

Resposta

O limite lim t 0 cos t-1e^t-t-1 é igual a -1.

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