Calcular os seguintes limites: .

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse exercício envolve os conceitos de limites e funções exponenciais e trigonométricas. Para resolver, vamos precisar entender como as funções e se comportam quando se aproxima de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento de cada função no numerador e no denominador quando se aproxima de 0. Sabemos que:
  • Para a função cosseno, temos a expansão de Taylor em torno de 0:
  • Para a função exponencial, a expansão de Taylor é:

Passo 3

Substituindo essas aproximações na expressão original, temos:
Simplificando:

Passo 4

Agora, simplificamos a fração:
Isso significa que, à medida que se aproxima de 0, a expressão tende a .

Resposta

O limite é igual a .

Exercícios relacionados

Calcule , sendo : .
Suponha que seja um polinômio de grau , com coeficientes inteiros, isto é, são números inteiros. Seja um número inteiro. Prove que se for uma raiz de , então será um divisor do termo independente .
Para , encontre e encontre o valor mínimo de .
Estude o sinal da expressão: