Para , encontre e encontre o valor mínimo de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função . O que precisamos fazer aqui é encontrar o gradiente dessa função, que é representado por , e depois descobrir qual é o valor mínimo que essa função pode alcançar. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial e otimização para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o gradiente . O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e é formado pelas derivadas parciais da função em relação a cada uma das suas variáveis. No nosso caso, temos três variáveis: , e .
Então, vamos calcular cada uma dessas derivadas:
Portanto, o gradiente fica:

Passo 3

Agora que temos o gradiente, para encontrar o ponto de mínimo da função , precisamos encontrar onde esse gradiente é igual a zero. Isso porque, nos pontos de mínimo (ou máximo), a inclinação da função é zero, indicando que não há variação naquele ponto.
Então, vamos igualar cada componente do gradiente a zero:

Passo 4

Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de , e .
Da equação (3):
Agora, substituímos nas outras equações.
Da equação (2):
Substituindo na equação (1):
Agora, substituindo na expressão :
Então, encontramos que:

Passo 5

Com esses valores de , e , vamos substituir na função para encontrar o valor mínimo.

Resposta

O gradiente da função é e o valor mínimo de é , alcançado no ponto .

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Calcular os seguintes limites: .
Calcule , sendo : .
Estude o sinal da expressão:
Encontre , sabendo que .