Para
, encontre
e encontre o valor mínimo de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função
. O que precisamos fazer aqui é encontrar o gradiente dessa função, que é representado por
, e depois descobrir qual é o valor mínimo que essa função pode alcançar. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial e otimização para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o gradiente
. O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e é formado pelas derivadas parciais da função em relação a cada uma das suas variáveis. No nosso caso, temos três variáveis:
,
e
.
Então, vamos calcular cada uma dessas derivadas:
Portanto, o gradiente
fica:
Passo 3
Agora que temos o gradiente, para encontrar o ponto de mínimo da função
, precisamos encontrar onde esse gradiente é igual a zero. Isso porque, nos pontos de mínimo (ou máximo), a inclinação da função é zero, indicando que não há variação naquele ponto.
Então, vamos igualar cada componente do gradiente a zero:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de
,
e
.
Da equação (3):
Agora, substituímos
nas outras equações.
Da equação (2):
Substituindo
na equação (1):
Agora, substituindo
na expressão
:
Então, encontramos que:
Passo 5
Com esses valores de
,
e
, vamos substituir na função
para encontrar o valor mínimo.
Resposta
O gradiente da função é
e o valor mínimo de
é
, alcançado no ponto
.
Exercícios relacionados
Calcular os seguintes limites:
.
Calcule
, sendo :
.
Estude o sinal da expressão:
Encontre
, sabendo que
.