Suponha que seja um polinômio de grau , com coeficientes inteiros, isto é, são números inteiros. Seja um número inteiro. Prove que se for uma raiz de , então será um divisor do termo independente .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um polinômio onde todos os coeficientes são números inteiros e . A gente sabe que é um número inteiro que é raiz desse polinômio, ou seja, . O que precisamos provar é que é divisor de . Para resolver isso, vamos precisar usar a substituição da raiz no polinômio e entender como os termos se cancelam.

Passo 2

Vamos começar substituindo no polinômio. Sabemos que é raiz, então:

Passo 3

Agora, vamos reorganizar essa equação para isolar . Ficamos com:

Passo 4

Observe que todos os termos do lado direito da equação contêm como fator. Então, podemos fatorar :

Passo 5

Como é igual a vezes algum outro número inteiro (porque todos os são inteiros e também é inteiro), isso significa que divide .

Resposta

Portanto, é um divisor do termo independente .

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Calcule , sendo : .
Fatore o polinômio dado:
Calcule , sendo : .
Calcular os seguintes limites: .