Suponha que P(x)=a_n x^n+ a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_{1} x + a_{0} seja um polinômio de grau n, com coeficientes inteiros, isto é, a0 ≠ 0, a1, a2, ..., an são números inteiros. Seja alpha um número inteiro. Prove que se alpha for uma raiz de P(x), então alpha será um divisor do termo independente a0.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um polinômio onde todos os coeficientes são números inteiros e . A gente sabe que é um número inteiro que é raiz desse polinômio, ou seja, . O que precisamos provar é que é divisor de . Para resolver isso, vamos precisar usar a substituição da raiz no polinômio e entender como os termos se cancelam.

Passo 2

Vamos começar substituindo no polinômio. Sabemos que é raiz, então:

Passo 3

Agora, vamos reorganizar essa equação para isolar . Ficamos com:

Passo 4

Observe que todos os termos do lado direito da equação contêm como fator. Então, podemos fatorar :

Passo 5

Como é igual a vezes algum outro número inteiro (porque todos os são inteiros e também é inteiro), isso significa que divide .

Resposta

Portanto, é um divisor do termo independente .

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