Calcular os seguintes limites: lim x 0 1-cos xx^2+x.

Passo 1

Vamos resolver o limite lim x 0 1-cos xx^2+x. Aqui estamos trabalhando com cálculo, especificamente com o conceito de limites. Para resolver esse limite, vamos precisar entender como as funções se comportam quando se aproxima de um valor específico, neste caso, 0. Também vamos utilizar uma ferramenta chamada Regra de L’Hôpital para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com o numerador e o denominador quando se aproxima de 0:
  • Numerador: se aproxima de porque .
  • Denominador: se aproxima de .
Então, temos uma forma indeterminada , o que nos permite usar a Regra de L’Hôpital.

Passo 3

A Regra de L’Hôpital nos diz que, se o limite de limx to a f(x)g(x) = limx to a f'(x)g'(x) resulta em ou , então podemos calcular o limite das derivadas de e , ou seja:
desde que este último limite exista.

Passo 4

Vamos encontrar as derivadas do numerador e do denominador:
  • Derivada do numerador ( f'(x) = ddx(1) - ddx(cos x) = 0 + sin x = sin x ):
    g'(x) = ddx(x^2) + ddx(x) = 2x + 1
  • Derivada do denominador ( ):

Passo 5

Aplicando a Regra de L’Hôpital, o limite original se transforma em:
limx to 0 1 - cos xx^2+x = limx to 0 sin x2x + 1

Passo 6

Agora, vamos avaliar o novo limite:
  • limx to 0 sin x2x + 1 = 01 = 0 se aproxima de .
  • se aproxima de .
Portanto, temos:

Resposta

O limite é igual a .

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