Calcular os seguintes limites:
.
Passo 1
Vamos resolver o limite
. Aqui estamos trabalhando com cálculo, especificamente com o conceito de limites. Para resolver esse limite, vamos precisar entender como as funções se comportam quando
se aproxima de um valor específico, neste caso, 0. Também vamos utilizar uma ferramenta chamada Regra de L’Hôpital para facilitar o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que acontece com o numerador e o denominador quando
se aproxima de 0:
- Numerador:
se aproxima de porque . - Denominador:
se aproxima de .
Então, temos uma forma indeterminada
, o que nos permite usar a Regra de L’Hôpital.
Passo 3
A Regra de L’Hôpital nos diz que, se o limite de
resulta em
ou
, então podemos calcular o limite das derivadas de
e
, ou seja:
desde que este último limite exista.
Passo 4
Vamos encontrar as derivadas do numerador e do denominador:
-
Derivada do numerador (
): -
Derivada do denominador (
):
Passo 5
Aplicando a Regra de L’Hôpital, o limite original se transforma em:
Passo 6
Agora, vamos avaliar o novo limite:
-
se aproxima de . -
se aproxima de .
Portanto, temos:
Resposta
O limite é igual a
.