Calcule o produto nabla . (f x g): f(x, y, z) = <y*z, x*z, x*y>

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Precisamos calcular o divergente do produto vetorial entre dois vetores, ou seja, . Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especificamente o divergente e o produto vetorial. Para resolver, vamos usar algumas propriedades importantes dessas operações.

Passo 2

Existe uma identidade útil em cálculo vetorial que relaciona o divergente do produto vetorial com os rotacionais dos vetores envolvidos. A identidade é a seguinte:
Essa fórmula nos permite decompor o cálculo complexo em partes mais simples.

Passo 3

Vamos calcular cada termo dessa identidade separadamente. Começamos calculando o rotacional de , ou seja, .
Dado que:
A definição do rotacional é:

Passo 4

Agora, vamos calcular cada derivada parcial:
Substituindo esses valores na expressão do rotacional:

Passo 5

Com o rotacional de calculado, podemos substituir na identidade inicial:
Como , temos:
Simplificando:

Resposta

Portanto, o produto é igual a .

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