Calcule o produto nabla . (f x g)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o divergente do produto vetorial entre dois vetores, ou seja, . Esse problema está no campo do Cálculo Vetorial, especificamente envolvendo operações como o divergente ( ) e o produto vetorial ( x vezes y). Para resolver isso, vamos precisar usar a identidade vetorial que relaciona essas operações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que cada operação faz:
  • Divergente ( ): É uma operação que, aplicada a um campo vetorial, nos diz a taxa de “fluxo” que sai de um ponto. Basicamente, mede se há alguma “fonte” ou “sumidouro” naquele ponto.
  • Produto Vetorial ( f * g): Dá um vetor que é perpendicular aos vetores f e g, e cuja magnitude está relacionada ao seno do ângulo entre eles.

Passo 3

Agora, para calcular , vamos usar a seguinte identidade vetorial:
Essa identidade nos diz que o divergente do produto vetorial é igual ao produto escalar de g com o rotacional de f menos o produto escalar de f com o rotacional de g.

Passo 4

Vamos entender o que é o rotacional ( nabla vezes):
  • Rotacional ( ): Mede a tendência do campo vetorial f de “girar” em torno de um ponto. Se for zero, o campo é considerado irrotacional.

Passo 5

Aplicando a identidade, temos:
Isso significa que, para encontrar o divergente do produto vetorial, a gente precisa calcular o rotacional de f e de g, depois fazer os produtos escalares com g e f, respectivamente, e finalmente subtrair os resultados.

Passo 6

Sem informações específicas sobre os vetores f e g, não podemos simplificar mais a expressão. Então, nossa resposta final será a aplicação direta da identidade.

Resposta

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