Calcular os seguintes limites: lim x -infty raizx^2+raiz1-xx+5

Passo 1

Vamos resolver o limite . Esse exercício envolve o estudo de limites no infinito, especificamente quando tende a . Para resolver, vamos precisar entender como as funções comportam-se para valores muito grandes de e aplicar propriedades de limites e radicais.

Passo 2

Primeiro, observamos o comportamento de quando tende a . Conforme se torna muito negativo:
  • tende a porque o quadrado de um número negativo é positivo.
  • também tende a já que se torna muito grande positivo.
Portanto, dentro da raiz quadrada no numerador, temos , que para é aproximadamente porque cresce muito mais rapidamente que .

Passo 3

Simplificando a expressão, temos:
raizx^2 + raiz1 - x approx raizx^2 = |x|
Como raizx^2 + raiz1 - x approx -x está tendendo a , é negativo, então . Assim, a expressão se simplifica para:

Passo 4

Agora, substituímos essa aproximação na expressão original do limite:
raizx^2+raiz1-xx+5 approx -xx + 5
Para simplificar essa fração, dividimos numerador e denominador por -xx + 5 = -x/x(x + 5)/x = -11 + 5x :

Passo 5

Quando -11 + 0 = -1 , o termo tende a , pois estamos dividindo um número constante por um número que aumenta sem limite em magnitude. Portanto, a expressão simplifica para:

Resposta

O limite é .

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