Calcular os seguintes limites:

Passo 1

Vamos resolver o limite . Esse exercício envolve o estudo de limites no infinito, especificamente quando tende a . Para resolver, vamos precisar entender como as funções comportam-se para valores muito grandes de e aplicar propriedades de limites e radicais.

Passo 2

Primeiro, observamos o comportamento de quando tende a . Conforme se torna muito negativo:
  • tende a porque o quadrado de um número negativo é positivo.
  • também tende a já que se torna muito grande positivo.
Portanto, dentro da raiz quadrada no numerador, temos , que para é aproximadamente porque cresce muito mais rapidamente que .

Passo 3

Simplificando a expressão, temos:
Como está tendendo a , é negativo, então . Assim, a expressão se simplifica para:

Passo 4

Agora, substituímos essa aproximação na expressão original do limite:
Para simplificar essa fração, dividimos numerador e denominador por :

Passo 5

Quando , o termo tende a , pois estamos dividindo um número constante por um número que aumenta sem limite em magnitude. Portanto, a expressão simplifica para:

Resposta

O limite é .

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