Calcular os seguintes limites usando as propriedades:

Passo 1

Então, a gente tem que calcular o limite de quando tende a 0. Isso envolve conceitos de limite e funções logarítmicas. Para resolver, vamos usar propriedades dos limites e desenvolver a expressão dentro do logaritmo para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece dentro do logaritmo quando se aproxima de 0. Se substituirmos por 0 na expressão , temos:
Então, o logaritmo de 1 é 0:
Isso nos dá a ideia de que o limite pode ser 0, mas precisamos verificar se há algo mais acontecendo perto de 0.

Passo 3

Vamos expandir a expressão em torno de para entender melhor o comportamento da função. Para isso, usamos a série de Taylor do logaritmo:
Onde . Como está próximo de 0, podemos considerar apenas os termos até a segunda ordem:

Passo 4

Agora, vamos simplificar a expressão aproximada:
Distribuindo o denominador:
Simplificando os termos semelhantes:

Passo 5

Agora, observamos que quando tende a 0, os termos com , e vão para 0 muito mais rápido que o termo linear . Portanto, o comportamento principal da função é dominado pelo termo .

Passo 6

Assim, o limite pode ser aproximado por:

Resposta

O limite é igual a .

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