Calcular os seguintes limites usando as propriedades: lim x 0 ln (1+x-x^2)

Passo 1

Então, a gente tem que calcular o limite de ln(1 + x - x^2) quando x tende a 0. Isso envolve conceitos de limite e funções logarítmicas. Para resolver, vamos usar propriedades dos limites e desenvolver a expressão dentro do logaritmo para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece dentro do logaritmo quando x se aproxima de 0. Se substituirmos x por 0 na expressão 1 + x - x^2, temos:
1 + 0 - 0^2 = 1
Então, o logaritmo de 1 é 0:
ln(1) = 0
Isso nos dá a ideia de que o limite pode ser 0, mas precisamos verificar se há algo mais acontecendo perto de 0.

Passo 3

Vamos expandir a expressão 1 + x - x^2 em torno de x = 0 para entender melhor o comportamento da função. Para isso, usamos a série de Taylor do logaritmo:
ln(1 + y) approx y - y^22 + y^33 - dots
Onde y = x - x^2. Como x está próximo de 0, podemos considerar apenas os termos até a segunda ordem:
ln(1 + x - x^2) approx (x - x^2) - (x - x^2)^22

Passo 4

Agora, vamos simplificar a expressão aproximada:
(x - x^2) - (x - x^2)^22 = x - x^2 - x^2 - 2x^3 + x^42
Distribuindo o denominador:
x - x^2 - x^22 + x^3 - x^42
Simplificando os termos semelhantes:
x - 3x^22 + x^3 - x^42

Passo 5

Agora, observamos que quando x tende a 0, os termos com x^2, x^3 e x^4 vão para 0 muito mais rápido que o termo linear x. Portanto, o comportamento principal da função é dominado pelo termo x.

Passo 6

Assim, o limite pode ser aproximado por:
limx 0 ln(1 + x - x^2) approx limx 0 x = 0

Resposta

O limite é igual a 0.

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