Calcular os seguintes limites usando as propriedades:
Passo 1
Então, a gente tem que calcular o limite de
quando
tende a 0. Isso envolve conceitos de limite e funções logarítmicas. Para resolver, vamos usar propriedades dos limites e desenvolver a expressão dentro do logaritmo para facilitar o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que acontece dentro do logaritmo quando
se aproxima de 0. Se substituirmos
por 0 na expressão
, temos:
Então, o logaritmo de 1 é 0:
Isso nos dá a ideia de que o limite pode ser 0, mas precisamos verificar se há algo mais acontecendo perto de 0.
Passo 3
Vamos expandir a expressão
em torno de
para entender melhor o comportamento da função. Para isso, usamos a série de Taylor do logaritmo:
Onde
. Como
está próximo de 0, podemos considerar apenas os termos até a segunda ordem:
Passo 4
Agora, vamos simplificar a expressão aproximada:
Distribuindo o denominador:
Simplificando os termos semelhantes:
Passo 5
Agora, observamos que quando
tende a 0, os termos com
,
e
vão para 0 muito mais rápido que o termo linear
. Portanto, o comportamento principal da função é dominado pelo termo
.
Passo 6
Assim, o limite pode ser aproximado por:
Resposta
O limite é igual a
.
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