Calcular os seguintes limites, usando a regra de Lc)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A gente tem que calcular
. Esse problema tá na área de Cálculo, especificamente sobre limites e a Regra de L’Hôpital. Pra resolver, vamos precisar transformar a expressão para aplicar essa regra que ajuda quando temos formas indeterminadas como
ou
.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever
e
em termos de seno e cosseno pra facilitar. Sabemos que:
Então, a expressão fica:
Passo 3
Agora, vamos analisar o limite dessa nova fração quando
se aproxima de
. A gente vê que:
Então, o numerador
tende a
e o denominador
também tende a
. Isso nos dá uma forma indeterminada do tipo
, que é perfeita pra aplicar a Regra de L’Hôpital.
Passo 4
A Regra de L’Hôpital diz que se temos um limite do tipo
ou
, podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e então calcular o limite dessas derivadas. Vamos aplicar isso:
Primeiro, derivamos o numerador
:
Agora, derivamos o denominador
:
Passo 5
Substituímos as derivadas no lugar do numerador e denominador originais:
Passo 6
Sabemos que
. Quando
se aproxima de
,
tende a
e
tende a
. Então:
Resposta
O limite é igual a
.
Exercícios relacionados
Calcular os seguintes limites, usando a regra de Li)
Calcule
a partir das expressões calculadas nos respectivos itens da questão anterior:
a)
a)
Se
, determinar a.
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