Calcular os seguintes limites, usando a regra de Lc) lim x pi / 2(sec (x)-tg(x))

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A gente tem que calcular . Esse problema tá na área de Cálculo, especificamente sobre limites e a Regra de L’Hôpital. Pra resolver, vamos precisar transformar a expressão para aplicar essa regra que ajuda quando temos formas indeterminadas como ou .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever sec(x) = 1cos(x) e tg(x) = sin(x)cos(x) e sec(x) - tg(x) = 1cos(x) - sin(x)cos(x) = 1 - sin(x)cos(x) em termos de seno e cosseno pra facilitar. Sabemos que:
Então, a expressão fica:

Passo 3

Agora, vamos analisar o limite dessa nova fração quando se aproxima de . A gente vê que:
Então, o numerador tende a e o denominador também tende a . Isso nos dá uma forma indeterminada do tipo , que é perfeita pra aplicar a Regra de L’Hôpital.

Passo 4

A Regra de L’Hôpital diz que se temos um limite do tipo ddx(1 - sin(x)) = -cos(x) ou ddx(cos(x)) = -sin(x) , podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e então calcular o limite dessas derivadas. Vamos aplicar isso:
Primeiro, derivamos o numerador :
Agora, derivamos o denominador :

Passo 5

Substituímos as derivadas no lugar do numerador e denominador originais:
lim x pi / 2 -cos(x)-sin(x) = lim x pi / 2 cos(x)sin(x) = lim x pi / 2 cot(x)

Passo 6

Sabemos que lim x pi / 2 cot(x) = 01 = 0 . Quando se aproxima de , tende a e tende a . Então:

Resposta

O limite é igual a .

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