Calcular os seguintes limites, usando a regra de Lc)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A gente tem que calcular . Esse problema tá na área de Cálculo, especificamente sobre limites e a Regra de L’Hôpital. Pra resolver, vamos precisar transformar a expressão para aplicar essa regra que ajuda quando temos formas indeterminadas como ou .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever e em termos de seno e cosseno pra facilitar. Sabemos que:
Então, a expressão fica:

Passo 3

Agora, vamos analisar o limite dessa nova fração quando se aproxima de . A gente vê que:
Então, o numerador tende a e o denominador também tende a . Isso nos dá uma forma indeterminada do tipo , que é perfeita pra aplicar a Regra de L’Hôpital.

Passo 4

A Regra de L’Hôpital diz que se temos um limite do tipo ou , podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e então calcular o limite dessas derivadas. Vamos aplicar isso:
Primeiro, derivamos o numerador :
Agora, derivamos o denominador :

Passo 5

Substituímos as derivadas no lugar do numerador e denominador originais:

Passo 6

Sabemos que . Quando se aproxima de , tende a e tende a . Então:

Resposta

O limite é igual a .

Exercícios relacionados

Calcular os seguintes limites, usando a regra de Li)
Calcule a partir das expressões calculadas nos respectivos itens da questão anterior:
a)
Se , determinar a.
Calcular os seguintes limites, usando a regra de Le)