Calcular os seguintes limites, usando a regra de Le)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O problema que temos é calcular o limite usando a regra de L’Hospital. Esse exercício envolve conceitos de cálculo, especificamente limites e regras para resolver formas indeterminadas. Vamos precisar entender como aplicar a regra de L’Hospital quando nos deparamos com indeterminações como .

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o limite . Quando se aproxima de pela direita, tende a e tende a . Então, temos uma forma do tipo , que é uma indeterminação. Para resolver isso, vamos reescrever a expressão de uma forma que possamos aplicar a regra de L’Hospital.

Passo 3

A regra de L’Hospital é utilizada para resolver limites que resultam em formas indeterminadas como ou . Para aplicar essa regra, precisamos transformar nosso limite em uma dessas formas. Vamos reescrever como uma fração:
Agora, nosso limite fica:
Quando tende a , tende a e tende a , então temos uma forma , que é uma indeterminação apta para a aplicação da regra de L’Hospital.

Passo 4

Aplicando a regra de L’Hospital, que nos diz que se resulta em ou , então:
desde que o limite à direita exista. Então, vamos calcular as derivadas do numerador e do denominador:
  • Derivada de em relação a é .
  • Derivada de em relação a é .

Passo 5

Agora, aplicamos essas derivadas ao nosso limite:
Simplificando a fração:
Então, o limite agora é:

Passo 6

Finalmente, calculamos o limite de quando tende a :

Resposta

O limite é igual a 0.

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