Calcular os seguintes limites, usando a regra de Le) lim x 0^+(x ln (x))

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O problema que temos é calcular o limite lim x 0^+(x ln (x)) usando a regra de L’Hospital. Esse exercício envolve conceitos de cálculo, especificamente limites e regras para resolver formas indeterminadas. Vamos precisar entender como aplicar a regra de L’Hospital quando nos deparamos com indeterminações como 0 cdot (-infty).

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o limite lim x 0^+(x ln (x)). Quando x se aproxima de 0 pela direita, x tende a 0 e ln(x) tende a -infty. Então, temos uma forma do tipo 0 cdot (-infty), que é uma indeterminação. Para resolver isso, vamos reescrever a expressão de uma forma que possamos aplicar a regra de L’Hospital.

Passo 3

A regra de L’Hospital é utilizada para resolver limites que resultam em formas indeterminadas como 00 ou inftyinfty. Para aplicar essa regra, precisamos transformar nosso limite em uma dessas formas. Vamos reescrever x ln(x) como uma fração:
x ln(x) = ln(x)1x
Agora, nosso limite fica:
limx to 0^+ ln(x)1x
Quando x tende a 0^+, ln(x) tende a -infty e 1x tende a infty, então temos uma forma -inftyinfty, que é uma indeterminação apta para a aplicação da regra de L’Hospital.

Passo 4

Aplicando a regra de L’Hospital, que nos diz que se limx to a f(x)g(x) resulta em 00 ou inftyinfty, então:
limx to a f(x)g(x) = limx to a f'(x)g'(x)
desde que o limite à direita exista. Então, vamos calcular as derivadas do numerador e do denominador:
  • Derivada de ln(x) em relação a x é 1x.
  • Derivada de 1x em relação a x é -1x^2.

Passo 5

Agora, aplicamos essas derivadas ao nosso limite:
limx to 0^+ ln(x)1x = limx to 0^+ 1x-1x^2
Simplificando a fração:
1x-1x^2 = -x
Então, o limite agora é:
limx to 0^+ (-x)

Passo 6

Finalmente, calculamos o limite de -x quando x tende a 0^+:
limx to 0^+ (-x) = -0 = 0

Resposta

O limite lim x 0^+(x ln (x)) é igual a 0.

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