Calcular os seguintes limites, usando a regra de Le)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O problema que temos é calcular o limite
usando a regra de L’Hospital. Esse exercício envolve conceitos de cálculo, especificamente limites e regras para resolver formas indeterminadas. Vamos precisar entender como aplicar a regra de L’Hospital quando nos deparamos com indeterminações como
.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o limite
. Quando
se aproxima de
pela direita,
tende a
e
tende a
. Então, temos uma forma do tipo
, que é uma indeterminação. Para resolver isso, vamos reescrever a expressão de uma forma que possamos aplicar a regra de L’Hospital.
Passo 3
A regra de L’Hospital é utilizada para resolver limites que resultam em formas indeterminadas como
ou
. Para aplicar essa regra, precisamos transformar nosso limite em uma dessas formas. Vamos reescrever
como uma fração:
Agora, nosso limite fica:
Quando
tende a
,
tende a
e
tende a
, então temos uma forma
, que é uma indeterminação apta para a aplicação da regra de L’Hospital.
Passo 4
Aplicando a regra de L’Hospital, que nos diz que se
resulta em
ou
, então:
desde que o limite à direita exista. Então, vamos calcular as derivadas do numerador e do denominador:
- Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é .
Passo 5
Agora, aplicamos essas derivadas ao nosso limite:
Simplificando a fração:
Então, o limite agora é:
Passo 6
Finalmente, calculamos o limite de
quando
tende a
:
Resposta
O limite
é igual a 0.
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Se
, determinar a.
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Usando a definição, verifique se as funções a seguir são deriváveis em
e em caso afirmativo, determine
:
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: