Calcular os seguintes limites, usando a regra de Li) lim x -1 raiz[3]1+2 x+1x+raiz2+x

Passo 1

Vamos resolver o limite . Esse exercício envolve o estudo de limites que resultam em uma forma indeterminada e usaremos a Regra de L’Hôpital para encontrar a solução. Precisaremos derivar o numerador e o denominador para aplicar essa regra.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se ao substituir raiz[3]1 + 2(-1) + 1 = raiz[3]1 - 2 + 1 = raiz[3]-1 + 1 = -1 + 1 = 0 na expressão, obtemos uma forma indeterminada -1 + raiz2 + (-1) = -1 + raiz1 = -1 + 1 = 0 .
Calculando o numerador:
Calculando o denominador:
Como tanto o numerador quanto o denominador resultam em 0, temos uma forma indeterminada e podemos aplicar a Regra de L’Hôpital.

Passo 3

A Regra de L’Hôpital nos diz que se ddx ( raiz[3]1 + 2x + 1 ) = ddx ( (1 + 2x)^13 ) = 13(1 + 2x)^-23 cdot 2 = 23(1 + 2x)^-23 resulta em ddx ( x + raiz2 + x ) = 1 + 12(2 + x)^-12 ou , então podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite novamente.
Vamos derivar o numerador e o denominador.
Derivada do numerador:
Derivada do denominador:

Passo 4

Agora, aplicamos a Regra de L’Hôpital substituindo as derivadas no limite:
limx to -1 23(1 + 2x)^-231 + 12(2 + x)^-12
Vamos substituir 1 + 2(-1) = -1 nessa expressão.
Calculando (1 + 2x)^-23 = (-1)^-23 = 1(-1)^23 = 11 = 1 quando 2 + (-1) = 1 :
(2 + x)^-12 = 1^-12 = 1
Então,
23 cdot 11 + 12 cdot 1 = 231 + 12 = 2332 = 23 cdot 23 = 49
Calculando quando :
Então,
Substituindo os valores:

Resposta

O limite é .

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