Se , determinar a.

Passo 1

Então, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o limite:
Estamos trabalhando com limites envolvendo funções exponenciais. Precisamos encontrar o valor de que faz esse limite ser igual a 9.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do limite. Observe que, quando tende ao infinito, os termos dominam sobre os termos constantes (como 1). Então, podemos reescrever a fração:

Passo 3

Agora, vamos reescrever a expressão de forma que fique mais fácil de lidar com o limite. Podemos colocar a fração na forma de algo:
Então, a expressão original fica:

Passo 4

Para resolver esse tipo de limite, usamos a propriedade que relaciona exponenciais e logaritmos. Vamos chamar o limite de :
Vamos tirar o logaritmo natural de ambos os lados para facilitar:

Passo 5

Dessa forma, temos:
Usando a propriedade dos logaritmos , podemos simplificar:

Passo 6

Agora, vamos analisar o comportamento quando tende ao infinito. O termo se aproxima de zero, então podemos usar a aproximação quando é pequeno:
Simplificando:

Passo 7

Agora, isolamos :
Sabemos que , então:

Resposta

O valor de é .

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Calcular os seguintes limites, usando a regra de Le)
Usando a definição, verifique se as funções a seguir são deriváveis em e em caso afirmativo, determine :