Se lim x +infty[a x+1a x-1]^x=9, determinar a.

Passo 1

Então, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o limite:
lim x +infty[a x+1a x-1]^x=9
Estamos trabalhando com limites envolvendo funções exponenciais. Precisamos encontrar o valor de que faz esse limite ser igual a 9.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do limite. Observe que, quando a x + 1a x - 1 = a x (1 + 1a x)a x (1 - 1a x) = 1 + 1a x1 - 1a x tende ao infinito, os termos dominam sobre os termos constantes (como 1). Então, podemos reescrever a fração:

Passo 3

Agora, vamos reescrever a expressão de forma que fique mais fácil de lidar com o limite. Podemos colocar a fração na forma de 1 + 1a x1 - 1a x = 1 + 2a x - 1 algo:
(1 + 2a x - 1)^x
Então, a expressão original fica:

Passo 4

Para resolver esse tipo de limite, usamos a propriedade que relaciona exponenciais e logaritmos. Vamos chamar o limite de L = (1 + 2a x - 1)^x = 9 :
ln L = ln 9
Vamos tirar o logaritmo natural de ambos os lados para facilitar:

Passo 5

Dessa forma, temos:
ln ( (1 + 2a x - 1)^x ) = ln 9
Usando a propriedade dos logaritmos x cdot ln (1 + 2a x - 1) = ln 9 , podemos simplificar:

Passo 6

Agora, vamos analisar o comportamento quando x cdot 2a x = ln 9 tende ao infinito. O termo 2a = ln 9 se aproxima de zero, então podemos usar a aproximação quando é pequeno:
Simplificando:

Passo 7

Agora, isolamos a = 2ln 9 :
a = 22 ln 3 = 1ln 3
Sabemos que , então:

Resposta

O valor de é .

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