Se
, determinar a.
Passo 1
Então, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o limite:
Estamos trabalhando com limites envolvendo funções exponenciais. Precisamos encontrar o valor de
que faz esse limite ser igual a 9.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do limite. Observe que, quando
tende ao infinito, os termos
dominam sobre os termos constantes (como 1). Então, podemos reescrever a fração:
Passo 3
Agora, vamos reescrever a expressão de forma que fique mais fácil de lidar com o limite. Podemos colocar a fração na forma de
algo:
Então, a expressão original fica:
Passo 4
Para resolver esse tipo de limite, usamos a propriedade que relaciona exponenciais e logaritmos. Vamos chamar o limite de
:
Vamos tirar o logaritmo natural de ambos os lados para facilitar:
Passo 5
Dessa forma, temos:
Usando a propriedade dos logaritmos
, podemos simplificar:
Passo 6
Agora, vamos analisar o comportamento quando
tende ao infinito. O termo
se aproxima de zero, então podemos usar a aproximação
quando
é pequeno:
Simplificando:
Passo 7
Agora, isolamos
:
Sabemos que
, então:
Resposta
O valor de
é
.
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e em caso afirmativo, determine
: