Calcular os seguintes limites, usando a regra de Ld) lim x 0^+ x^1 / ln (x)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos calcular o limite quando se aproxima de 0 pela direita da expressão . Para resolver isso, vamos usar a Regra de L’Hôpital, que nos ajuda a encontrar limites de funções que inicialmente dão formas indeterminadas, como ou .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão para facilitar o cálculo do limite. Expressões com potências complicadas podem ser difíceis de lidar diretamente, então uma boa estratégia é usar logaritmos para “trazer a potência para baixo”.

Passo 3

Vamos chamar a expressão de y = x^1 / ln(x) :
ln(y) = ln( x^1 / ln(x) )
Agora, aplicamos o logaritmo natural dos dois lados para facilitar:

Passo 4

Usando a propriedade dos logaritmos que diz ln(y) = 1ln(x) cdot ln(x) , temos:
ln(y) = 1
Simplificando:

Passo 5

Agora, para encontrar y = e^ln(y) = e^1 , fazemos o inverso do logaritmo:

Passo 6

Portanto, o limite que queremos calcular é:
limx 0^+ x^1 / ln(x) = e

Resposta

O limite é igual a .

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