Calcule as seguintes derivadas:

Passo 1

Beleza, vamos calcular a derivada da função . Essa função envolve duas partes principais: a função arco-secante ( ) e uma função exponencial com base . Para resolver isso, vamos precisar usar a regra do quociente e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função que vamos derivar. Podemos chamar o numerador de e o denominador de .

Passo 3

Agora, vamos diferenciar . A derivada da arco-secante é dada por:
Aqui, , então .

Passo 4

Substituindo e na fórmula, temos:
Simplificando o denominador dentro da raiz:
Então, a derivada fica:

Passo 5

Agora, vamos derivar . A derivada de uma função exponencial é . Então:

Passo 6

Com as derivadas de e em mãos, vamos aplicar a regra do quociente:
Substituindo:

Passo 7

Vamos simplificar a expressão. Primeiro, note que . Então:

Resposta

A derivada de é:

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Calcular os seguintes limites, usando a regra de Lf)
Calcule a segunda derivada e o seu valor nos pontos indicados nos itens da questão anterior.
a) , no ponto
Determine a derivada das seguintes funções:
Calcular os seguintes limites, usando a regra de Ld)