Usando a definição, verifique se as funções a seguir são deriváveis em
e em caso afirmativo, determine
:
Passo 1
Então, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a função
e queremos verificar se ela é derivável em
. Se for derivável, também precisamos encontrar a derivada
.
Para resolver isso, vamos usar a definição de derivada, que nos ajuda a determinar se a função tem uma taxa de variação bem definida naquele ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da definição de derivada de uma função
em um ponto
:
Essa fórmula nos diz que a derivada é o limite da razão entre a variação da função e a variação de
quando
se aproxima de zero.
Passo 3
Vamos aplicar essa definição à nossa função
em
:
Simplificando, temos:
Passo 4
Agora, vamos simplificar a expressão
. Podemos reescrever
como
, então:
Passo 5
Agora, analisamos o comportamento de
quando
se aproxima de 0. Como
tende a 0,
tende ao infinito. Portanto:
Isso significa que o limite que definia a derivada não existe de forma finita.
Resposta
A função
não é derivável em
.
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Calcular os seguintes limites, usando a regra de Le)
Se
, determinar a.
Usando a definição, verifique se as funções a seguir são deriváveis em
e em caso afirmativo, determine
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e em caso afirmativo, determine
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