Usando a definição, verifique se as funções a seguir são deriváveis em e em caso afirmativo, determine :

Passo 1

Então, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a função e queremos verificar se ela é derivável em . Se for derivável, também precisamos encontrar a derivada .
Para resolver isso, vamos usar a definição de derivada, que nos ajuda a determinar se a função tem uma taxa de variação bem definida naquele ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da definição de derivada de uma função em um ponto :
Essa fórmula nos diz que a derivada é o limite da razão entre a variação da função e a variação de quando se aproxima de zero.

Passo 3

Vamos aplicar essa definição à nossa função em :
Simplificando, temos:

Passo 4

Agora, vamos simplificar a expressão . Podemos reescrever como , então:

Passo 5

Agora, analisamos o comportamento de quando se aproxima de 0. Como tende a 0, tende ao infinito. Portanto:
Isso significa que o limite que definia a derivada não existe de forma finita.

Resposta

A função não é derivável em .

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Calcular os seguintes limites, usando a regra de Le)
Se , determinar a.
Usando a definição, verifique se as funções a seguir são deriváveis em e em caso afirmativo, determine :
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