Calcular os seguintes limites, usando a regra de Lf) lim x (pi / 2)^- tg(x)^sen(2 x)

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem que calcular o limite de tan(x)^sin(2x) quando x se aproxima de pi2 pela esquerda. Aqui, estamos trabalhando com limites de funções que envolvem potências e trigonometria. Para resolver isso, vamos precisar usar logaritmos e a regra de L’Hospital para facilitar a conta.

Passo 2

Primeiro, para facilitar o cálculo, vamos aplicar o logaritmo natural na função. Isso porque lidar com potências pode ser complicado, e transformar a potência em uma multiplicação ajuda bastante. Assim, temos:
ln(tan(x)^sin(2x)) = sin(2x) cdot ln(tan(x))
Agora, nosso objetivo é encontrar o limite de sin(2x) cdot ln(tan(x)) quando x aproxima pi2 pela esquerda.

Passo 3

Vamos analisar cada parte dessa expressão:
  1. sin(2x): Quando x se aproxima de pi2, 2x se aproxima de pi. Então, sin(2x) to 0 porque sin(pi) = 0.
  2. ln(tan(x)): Conforme x se aproxima de pi2 pela esquerda, tan(x) cresce sem limite porque o cosseno de x está se aproximando de 0, e tan(x) = sin(x)cos(x). Assim, ln(tan(x)) to +infty.
Então, temos um caso de indeterminação do tipo 0 cdot infty. Para resolver isso, vamos reescrever a expressão de forma a aplicar a regra de L’Hospital.

Passo 4

Vamos reescrever a expressão sin(2x) cdot ln(tan(x)) como uma fração:
sin(2x) cdot ln(tan(x)) = ln(tan(x))1sin(2x)
Agora, quando x to pi2^-, o numerador vai para +infty e o denominador também vai para +infty, criando uma indeterminação do tipo inftyinfty, que podemos resolver usando a regra de L’Hospital.

Passo 5

A regra de L’Hospital diz que, se temos um limite do tipo inftyinfty ou 00, podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e então calcular o limite dessas derivadas.
Vamos derivar:
  • Numerador: f(x) = ln(tan(x))
    A derivada de f(x) é:
    f'(x) = 1tan(x) cdot sec^2(x) = sec^2(x)tan(x) = 1sin(x)cos(x)
  • Denominador: g(x) = 1sin(2x)
    A derivada de g(x) é:
    g'(x) = -2cos(2x)sin^2(2x)
Agora, aplicamos a regra de L’Hospital:
limx to pi2^- f(x)g(x) = limx to pi2^- f'(x)g'(x) = limx to pi2^- 1sin(x)cos(x)-2cos(2x)sin^2(2x)

Passo 6

Vamos simplificar a expressão resultante:
1sin(x)cos(x)-2cos(2x)sin^2(2x) = sin^2(2x)-2cos(2x)sin(x)cos(x)
Sabemos que sin(2x) = 2sin(x)cos(x), então sin^2(2x) = 4sin^2(x)cos^2(x). Substituindo:
4sin^2(x)cos^2(x)-2cos(2x)sin(x)cos(x) = 4sin(x)cos(x)-2cos(2x) = -2sin(x)cos(x)cos(2x)
Agora, temos:
limx to pi2^- -2sin(x)cos(x)cos(2x)

Passo 7

Vamos avaliar cada parte conforme x to pi2^-:
  • sin(x): tende a 1, já que sin(pi2) = 1.
  • cos(x): tende a 0, pois cos(pi2) = 0.
  • cos(2x): quando x to pi2, 2x to pi, então cos(2x) to -1.
Substituindo:
-2 cdot 1 cdot 0-1 = 0

Passo 8

Então, o limite de ln(tan(x)^sin(2x)) é 0. Para encontrar o limite original, precisamos “desfazer” o logaritmo, ou seja, usar a função exponencial:
limx to pi2^- tan(x)^sin(2x) = e^0 = 1

Resposta

O limite é igual a 1.

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