Calcular os seguintes limites, usando a regra de Lf)

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem que calcular o limite de quando se aproxima de pela esquerda. Aqui, estamos trabalhando com limites de funções que envolvem potências e trigonometria. Para resolver isso, vamos precisar usar logaritmos e a regra de L’Hospital para facilitar a conta.

Passo 2

Primeiro, para facilitar o cálculo, vamos aplicar o logaritmo natural na função. Isso porque lidar com potências pode ser complicado, e transformar a potência em uma multiplicação ajuda bastante. Assim, temos:
Agora, nosso objetivo é encontrar o limite de quando aproxima pela esquerda.

Passo 3

Vamos analisar cada parte dessa expressão:
  1. : Quando se aproxima de , se aproxima de . Então, porque .
  2. : Conforme se aproxima de pela esquerda, cresce sem limite porque o cosseno de está se aproximando de 0, e . Assim, .
Então, temos um caso de indeterminação do tipo . Para resolver isso, vamos reescrever a expressão de forma a aplicar a regra de L’Hospital.

Passo 4

Vamos reescrever a expressão como uma fração:
Agora, quando , o numerador vai para e o denominador também vai para , criando uma indeterminação do tipo , que podemos resolver usando a regra de L’Hospital.

Passo 5

A regra de L’Hospital diz que, se temos um limite do tipo ou , podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e então calcular o limite dessas derivadas.
Vamos derivar:
  • Numerador:
    A derivada de é:
  • Denominador:
    A derivada de é:
Agora, aplicamos a regra de L’Hospital:

Passo 6

Vamos simplificar a expressão resultante:
Sabemos que , então . Substituindo:
Agora, temos:

Passo 7

Vamos avaliar cada parte conforme :
  • : tende a 1, já que .
  • : tende a 0, pois .
  • : quando , , então .
Substituindo:

Passo 8

Então, o limite de é 0. Para encontrar o limite original, precisamos “desfazer” o logaritmo, ou seja, usar a função exponencial:

Resposta

O limite é igual a .

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a) , no ponto
Determine a derivada das seguintes funções:
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