Calcular os seguintes limites, usando a regra de Lf)
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem que calcular o limite de
quando
se aproxima de
pela esquerda. Aqui, estamos trabalhando com limites de funções que envolvem potências e trigonometria. Para resolver isso, vamos precisar usar logaritmos e a regra de L’Hospital para facilitar a conta.
Passo 2
Primeiro, para facilitar o cálculo, vamos aplicar o logaritmo natural na função. Isso porque lidar com potências pode ser complicado, e transformar a potência em uma multiplicação ajuda bastante. Assim, temos:
Agora, nosso objetivo é encontrar o limite de
quando
aproxima
pela esquerda.
Passo 3
Vamos analisar cada parte dessa expressão:
-
: Quando se aproxima de , se aproxima de . Então, porque . -
: Conforme se aproxima de pela esquerda, cresce sem limite porque o cosseno de está se aproximando de 0, e . Assim, .
Então, temos um caso de indeterminação do tipo
. Para resolver isso, vamos reescrever a expressão de forma a aplicar a regra de L’Hospital.
Passo 4
Vamos reescrever a expressão
como uma fração:
Agora, quando
, o numerador vai para
e o denominador também vai para
, criando uma indeterminação do tipo
, que podemos resolver usando a regra de L’Hospital.
Passo 5
A regra de L’Hospital diz que, se temos um limite do tipo
ou
, podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e então calcular o limite dessas derivadas.
Vamos derivar:
-
Numerador:A derivada de
é: -
Denominador:A derivada de
é:
Agora, aplicamos a regra de L’Hospital:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão resultante:
Sabemos que
, então
. Substituindo:
Agora, temos:
Passo 7
Vamos avaliar cada parte conforme
:
-
: tende a 1, já que . -
: tende a 0, pois . -
: quando , , então .
Substituindo:
Passo 8
Então, o limite de
é 0. Para encontrar o limite original, precisamos “desfazer” o logaritmo, ou seja, usar a função exponencial:
Resposta
O limite é igual a
.
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a) , no ponto
a)
Determine a derivada das seguintes funções:
Calcule as seguintes derivadas:
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