Calcule a segunda derivada e o seu valor nos pontos indicados nos itens da questão anterior.
a)
, no ponto
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a segunda derivada da função definida pela equação
e encontrar o valor dessa derivada no ponto
. Para isso, vamos usar o conceito de derivação implícita, que é quando a função não está resolvida para
em termos de
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada,
. Começamos diferenciando ambos os lados da equação em relação a
:
Isso nos dá:
Passo 3
Agora, vamos isolar
:
Passo 4
Com a primeira derivada em mãos, vamos determinar a segunda derivada,
. Para isso, vamos derivar
em relação a
:
Passo 5
Aplicando a regra do quociente para derivar
:
Substituindo
por
:
Passo 6
Simplificando a expressão:
Sabemos que
, então substituímos:
Passo 7
Agora, vamos calcular o valor de
no ponto
:
Calculando
:
Então:
Resposta
A segunda derivada no ponto
é
.
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