Calcule a segunda derivada e o seu valor nos pontos indicados nos itens da questão anterior.
a) , no ponto

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a segunda derivada da função definida pela equação e encontrar o valor dessa derivada no ponto . Para isso, vamos usar o conceito de derivação implícita, que é quando a função não está resolvida para em termos de .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada, . Começamos diferenciando ambos os lados da equação em relação a :
Isso nos dá:

Passo 3

Agora, vamos isolar :

Passo 4

Com a primeira derivada em mãos, vamos determinar a segunda derivada, . Para isso, vamos derivar em relação a :

Passo 5

Aplicando a regra do quociente para derivar :
Substituindo por :

Passo 6

Simplificando a expressão:
Sabemos que , então substituímos:

Passo 7

Agora, vamos calcular o valor de no ponto :
Calculando :
Então:

Resposta

A segunda derivada no ponto é .

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