Calcular, por Séries de Potências, o valor do seguintes limites:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular o limite quando
tende a zero da expressão
. Para isso, vamos usar Séries de Potências, que são uma forma de representar funções como somas infinitas de termos envolvendo potências de
. Precisaremos conhecer a expansão em série de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a série de potências para
. A série de Taylor de
centrada em zero é:
Essa série nos permite aproximar
para valores de
próximos de zero.
Passo 3
Agora, substituímos a expansão de
na expressão original:
Simplificando dentro dos parênteses:
Passo 4
Agora, substituímos essa expressão no limite:
Dividindo cada termo do numerador por
:
Passo 5
Agora, ao calcular o limite quando
tende a zero, todos os termos que contêm
vão se tornar zero:
Resposta
O limite é
.
Exercícios relacionados
Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries de potências abaixo:
Encontre a função cuja série de Maclaurin é
Calcular, por Séries de Potências, o valor do seguintes limites:
Calcular, por série de potências: