Calcular, por Séries de Potências, o valor do seguintes limites: lim x 0 5-5 cos x2 x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular o limite quando tende a zero da expressão . Para isso, vamos usar Séries de Potências, que são uma forma de representar funções como somas infinitas de termos envolvendo potências de . Precisaremos conhecer a expansão em série de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a série de potências para cos x = 1 - x^22! + x^44! - x^66! + dots . A série de Taylor de centrada em zero é:
Essa série nos permite aproximar para valores de próximos de zero.

Passo 3

Agora, substituímos a expansão de 5 - 5 cos x = 5 (1 - cos x) = 5 (1 - (1 - x^22 + x^424 - dots)) na expressão original:
5 (1 - 1 + x^22 - x^424 + dots) = 5 (x^22 - x^424 + dots)
Simplificando dentro dos parênteses:

Passo 4

Agora, substituímos essa expressão no limite:
limx to 0 5 - 5 cos x2x^2 = limx to 0 5 (x^22 - x^424 + dots)2x^2
Dividindo cada termo do numerador por limx to 0 ( 5 cdot x^222x^2 - 5 cdot x^4242x^2 + dots ) = limx to 0 ( 54 - 5x^248 + dots ) :

Passo 5

Agora, ao calcular o limite quando limx to 0 ( 54 - 5x^248 + dots ) = 54 tende a zero, todos os termos que contêm vão se tornar zero:

Resposta

O limite é .

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