Calcular, por séries de potências, com erro inferior a 0,001, o valor das seguintes integrais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
usando séries de potências. O objetivo é calcular esse valor com um erro menor que 0,001. Para isso, vamos precisar conhecer a série de potências da função
e entender como somar os termos dessa série até atingir a precisão desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função exponencial
pode ser expandida em uma série de potências assim:
No nosso caso, temos
, então substituímos
por
:
Passo 3
Agora, vamos integrar essa série termo a termo no intervalo de 0 a 1:
Passo 4
A integral de
de 0 a 1 é fácil de calcular:
Então, nossa série fica:
Passo 5
Para obter uma aproximação com erro menor que 0,001, vamos somar os termos da série até que o próximo termo tenha valor absoluto menor que 0,001. Vamos calcular os primeiros termos:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 6
Observamos que o termo para
é aproximadamente
, que já é menor que 0,001 em valor absoluto. Portanto, podemos parar aqui e somar os termos de
a
:
Resposta
Aproximando a integral
por séries de potências com erro inferior a 0,001, obtemos aproximadamente
.
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a)
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ao redor do ponto
e determine seu intervalo de convergência.
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