Calcular, por séries de potências, com erro inferior a 0,001, o valor das seguintes integrais: integral0^1 e^-x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando séries de potências. O objetivo é calcular esse valor com um erro menor que 0,001. Para isso, vamos precisar conhecer a série de potências da função e entender como somar os termos dessa série até atingir a precisão desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função exponencial e^x = sumn=0^infty x^nn! pode ser expandida em uma série de potências assim:
e^-x^2 = sumn=0^infty (-x^2)^nn! = sumn=0^infty (-1)^n x^2nn!
No nosso caso, temos , então substituímos por :

Passo 3

Agora, vamos integrar essa série termo a termo no intervalo de 0 a 1:
integral0^1 e^-x^2 dx = integral0^1 sumn=0^infty (-1)^n x^2nn! dx = sumn=0^infty (-1)^nn! integral0^1 x^2n dx

Passo 4

A integral de integral0^1 x^2n dx = 12n + 1 de 0 a 1 é fácil de calcular:
integral0^1 e^-x^2 dx = sumn=0^infty (-1)^nn!(2n + 1)
Então, nossa série fica:

Passo 5

Para obter uma aproximação com erro menor que 0,001, vamos somar os termos da série até que o próximo termo tenha valor absoluto menor que 0,001. Vamos calcular os primeiros termos:
  • Para (-1)^00!(2 cdot 0 + 1) = 11 = 1 :
(-1)^11!(2 cdot 1 + 1) = -13 approx -0,3333
  • Para (-1)^22!(2 cdot 2 + 1) = 12 cdot 5 = 110 = 0,1 :
(-1)^33!(2 cdot 3 + 1) = -16 cdot 7 = -142 approx -0,0238
  • Para (-1)^44!(2 cdot 4 + 1) = 124 cdot 9 = 1216 approx 0,0046 :
(-1)^55!(2 cdot 5 + 1) = -1120 cdot 11 = -11320 approx -0,00076
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 6

Observamos que o termo para 1 - 0,3333 + 0,1 - 0,0238 + 0,0046 approx 0,7475 é aproximadamente , que já é menor que 0,001 em valor absoluto. Portanto, podemos parar aqui e somar os termos de a :

Resposta

Aproximando a integral por séries de potências com erro inferior a 0,001, obtemos aproximadamente .

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