Encontre uma série para a função
ao redor do ponto
e determine seu intervalo de convergência.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar uma série de potência para a função
ao redor do ponto
e descobrir onde essa série converge. Para isso, vamos usar conceitos de séries de Taylor, que são ferramentas legais para aproximar funções usando polinômios.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a função que temos:
. Sabemos que
pode ser expandido em uma série de Taylor. Aqui,
é uma constante que, no nosso caso, é
.
Passo 3
A série de Taylor para a função exponencial
ao redor de
é dada por:
Onde:
-
indica uma soma infinita. -
é o fatorial de , ou seja, .
Passo 4
Aplicando isso à nossa função, onde
, temos:
Passo 5
Agora, vamos subtrair 1 dessa série para obter
:
Passo 6
Observando a soma, o termo quando
é
. Então, ao subtrair 1, esse termo desaparece. Assim, a série para
fica:
Passo 7
Por fim, vamos determinar o intervalo de convergência dessa série. Sabemos que a série exponencial
converge para todos os valores de
reais, pois o raio de convergência é infinito. Portanto, a nossa série para
também converge para todo
.
Resposta
A série de potência para
em torno de
é:
E o intervalo de convergência é
.
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