Encontre uma série para a função f(x) = e^(x ln(pi)) - 1 ao redor do ponto x0 = 0 e determine seu intervalo de convergência.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar uma série de potência para a função ao redor do ponto e descobrir onde essa série converge. Para isso, vamos usar conceitos de séries de Taylor, que são ferramentas legais para aproximar funções usando polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a função que temos: . Sabemos que pode ser expandido em uma série de Taylor. Aqui, é uma constante que, no nosso caso, é .

Passo 3

A série de Taylor para a função exponencial ao redor de é dada por:
Onde:
  • indica uma soma infinita.
  • é o fatorial de , ou seja, .

Passo 4

Aplicando isso à nossa função, onde , temos:

Passo 5

Agora, vamos subtrair 1 dessa série para obter :

Passo 6

Observando a soma, o termo quando é . Então, ao subtrair 1, esse termo desaparece. Assim, a série para fica:

Passo 7

Por fim, vamos determinar o intervalo de convergência dessa série. Sabemos que a série exponencial converge para todos os valores de reais, pois o raio de convergência é infinito. Portanto, a nossa série para também converge para todo .

Resposta

A série de potência para em torno de é:
E o intervalo de convergência é .

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