Calcular, por Séries de Potências, o valor do seguintes limites: lim x 1 ln xx-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular o limite usando Séries de Potências. Primeiro, vamos entender que estamos trabalhando com limites e séries de Taylor, que são ferramentas matemáticas para aproximar funções próximas a um ponto específico. Para isso, vamos precisar expandir a função em uma série de potências em torno de .

Passo 2

Vamos começar expandindo a função ln x = (x - 1) - (x - 1)^22 + (x - 1)^33 - (x - 1)^44 + dots em uma série de Taylor ao redor de . A série de Taylor para em torno de é dada por:
Essa série nos permite aproximar quando está perto de 1.

Passo 3

Agora, queremos calcular o limite ln xx - 1 = (x - 1) - (x - 1)^22 + (x - 1)^33 - dotsx - 1 . Substituímos a expansão da série de na expressão do limite:

Passo 4

Simplificamos a fração dividindo cada termo do numerador por ln xx - 1 = 1 - (x - 1)2 + (x - 1)^23 - dots :

Passo 5

Agora, ao calcular o limite quando lim x 1 (1 - (x - 1)2 + (x - 1)^23 - dots) = 1 - 0 + 0 - dots = 1 se aproxima de 1, ou seja, , os termos que contêm , , etc., vão se aproximar de zero:

Resposta

O limite é igual a 1.

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