Calcular, por Séries de Potências, o valor do seguintes limites:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular o limite
usando Séries de Potências. Primeiro, vamos entender que estamos trabalhando com limites e séries de Taylor, que são ferramentas matemáticas para aproximar funções próximas a um ponto específico. Para isso, vamos precisar expandir a função
em uma série de potências em torno de
.
Passo 2
Vamos começar expandindo a função
em uma série de Taylor ao redor de
. A série de Taylor para
em torno de
é dada por:
Essa série nos permite aproximar
quando
está perto de 1.
Passo 3
Agora, queremos calcular o limite
. Substituímos a expansão da série de
na expressão do limite:
Passo 4
Simplificamos a fração dividindo cada termo do numerador por
:
Passo 5
Agora, ao calcular o limite quando
se aproxima de 1, ou seja,
, os termos que contêm
,
, etc., vão se aproximar de zero:
Resposta
O limite
é igual a 1.
Exercícios relacionados
a)
Determine os quatro menores números positivos
tais que:
e)
e)
Calcular, por séries de potências, com erro inferior a 0,001, o valor das seguintes integrais:
Encontre uma série para a função
ao redor do ponto
e determine seu intervalo de convergência.