Encontre a função cuja série de Maclaurin é
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar uma função cuja série de Maclaurin é dada por
A série de Maclaurin é uma forma de representar funções como uma soma infinita de termos envolvendo potências de
. Para resolver isso, vamos precisar lembrar de como é a série de Maclaurin para a função exponencial e manipular a série dada para chegar na função desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a série que temos:
Perceba que o expoente de
Ou seja, estamos fatorando
para simplificar a série.
Passo 3
Agora, vamos analisar a série dentro da soma:
Essa série é conhecida! Ela é a série de Maclaurin para a função exponencial
então, substituindo
por
, temos:
Passo 4
Agora que identificamos a série dentro da soma como
, podemos substituir de volta na expressão que obtivemos no Passo 2:
Resposta
A função cuja série de Maclaurin é
é
.
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ao redor do ponto
e determine seu intervalo de convergência.
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