Encontre a função cuja série de Maclaurin é sumn=0^infty (-1)^n x^n+2n!

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar uma função cuja série de Maclaurin é dada por sumn=0^infty (-1)^n x^n+2n! A série de Maclaurin é uma forma de representar funções como uma soma infinita de termos envolvendo potências de . Para resolver isso, vamos precisar lembrar de como é a série de Maclaurin para a função exponencial e manipular a série dada para chegar na função desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a série que temos:
sumn=0^infty (-1)^n x^n+2n!
Perceba que o expoente de x^2 sumn=0^infty (-1)^n x^nn! é . Podemos reescrever isso como:
Ou seja, estamos fatorando para simplificar a série.

Passo 3

Agora, vamos analisar a série dentro da soma:
sumn=0^infty (-1)^n x^nn!
Essa série é conhecida! Ela é a série de Maclaurin para a função exponencial sumn=0^infty x^nn!,. A série de Maclaurin para sumn=0^infty (-x)^nn! = e^-x é:
então, substituindo por , temos:

Passo 4

Agora que identificamos a série dentro da soma como x^2 sumn=0^infty (-1)^n x^nn! = x^2 e^-x, podemos substituir de volta na expressão que obtivemos no Passo 2:

Resposta

A função cuja série de Maclaurin é sumn=0^infty (-1)^n x^n+2n! é .

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