a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite
. Aqui, estamos lidando com limites em cálculo, que nos ajudam a entender o comportamento de uma função quando a variável se aproxima de um certo valor. Para resolver isso, vamos precisar conhecer algumas propriedades de limites e, possivelmente, usar a Regra de L’Hôpital ou expansões em séries de Taylor para funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão para facilitar a análise. Observe que podemos fatorar o 5 no numerador:
Isso nos deixa com a expressão $ \frac{1 - \cos x}{x^{2}} $, que é uma forma comum que aparece em limites envolvendo funções trigonométricas.
Passo 3
Agora, vamos analisar o comportamento de
quando
se aproxima de 0. Sabemos que, para valores pequenos de
, a função cosseno pode ser aproximada pela série de Taylor:
Assim,
Passo 4
Substituindo essa aproximação na nossa expressão original:
Como
tende a 0, os termos com
cancelam e restam constantes.
Resposta
O limite é
.
Exercícios relacionados
Determine os quatro menores números positivos
tais que:
e)
e)
Considerando a série
, com domínio de convergência
, desenvolva as séries das funções abaixo em seus respectivos intervalos de convergência, utilizando substituições, derivações ou integrações termo a termo:
Calcular, por Séries de Potências, o valor do seguintes limites:
Calcular, por séries de potências, com erro inferior a 0,001, o valor das seguintes integrais: