a) lim x 0 5-5 cos x2 x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite lim x 0 5-5 cos x2 x^2. Aqui, estamos lidando com limites em cálculo, que nos ajudam a entender o comportamento de uma função quando a variável se aproxima de um certo valor. Para resolver isso, vamos precisar conhecer algumas propriedades de limites e, possivelmente, usar a Regra de L’Hôpital ou expansões em séries de Taylor para funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão para facilitar a análise. Observe que podemos fatorar o 5 no numerador:
5 - 5 cos x2 x^2 = 5(1 - cos x)2 x^2
Isso nos deixa com a expressão $ \frac{1 - \cos x}{x^{2}} $, que é uma forma comum que aparece em limites envolvendo funções trigonométricas.

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento de 1 - cos x quando x se aproxima de 0. Sabemos que, para valores pequenos de x, a função cosseno pode ser aproximada pela série de Taylor:
cos x approx 1 - x^22
Assim,
1 - cos x approx x^22

Passo 4

Substituindo essa aproximação na nossa expressão original:
5(1 - cos x)2 x^2 approx 5 ( x^22 )2 x^2 = 5 cdot x^222 x^2 = 54
Como x tende a 0, os termos com x^2 cancelam e restam constantes.

Resposta

O limite é 54.

Exercícios relacionados

Determine os quatro menores números positivos x em R tais que:
e) sen x = 1/2
Considerando a série 11-x=sumn=0^infty x^n=1+x+x^2+x^3+ldots, com domínio de convergência DC=(-1,1), desenvolva as séries das funções abaixo em seus respectivos intervalos de convergência, utilizando substituições, derivações ou integrações termo a termo: f(x)=arctg x
Calcular, por Séries de Potências, o valor do seguintes limites: lim x 1 ln xx-1
Calcular, por séries de potências, com erro inferior a 0,001, o valor das seguintes integrais: integral0^1 e^-x^2 d x