Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries de potências abaixo: sumn=1^infty (n-1)^2 x^nn^n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências dada por:
sumn=1^infty (n-1)^2 x^nn^n
Para isso, vamos usar conceitos de suas séries de potências, especificamente o teste da razão ou o teste da raiz para determinar onde a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o raio de convergência. Ele nos diz o quanto o valor de pode variar para que a série de potências ainda converja. Já o intervalo de convergência é simplesmente o conjunto de todos os valores de que fazem a série convergir.

Passo 3

Vamos usar o teste da raiz para encontrar o raio de convergência. Esse teste diz que:
R = 1limsupn to infty raiz[n]|an|
onde é o coeficiente da série. No nosso caso, .

Passo 4

Vamos calcular raiz[n]|an| = raiz[n](n-1)^2n^n = (n-1)^2/nn :
Agora, vamos analisar o comportamento dessa expressão quando tende ao infinito.

Passo 5

Observamos que:
  • (n-1)^2/n to e^0 = 1
Quando limn to infty (n-1)^2/nn = limn to infty 1n = 0 vai para o infinito, tende a zero, então:
Portanto, a expressão simplifica para:

Passo 6

Aplicando o resultado ao teste da raiz:
R = 10 = infty
Isso significa que o raio de convergência é infinito.

Passo 7

Com o raio de convergência sendo infinito, o intervalo de convergência também é todo o conjunto dos números reais, ou seja, .

Resposta

O raio de convergência da série é infinito, e o intervalo de convergência é (todos os números reais).

Exercícios relacionados

Expresse a função f(x) = (x - 1)^3 * e^x em série de potências de x - 1.
Encontre a série de Taylor centrada em a = 0 da função f(x) = 1/((1 - 3 x)^(5)) especificando seu raio de convergência. (Sugestão: A partir da série geométrica, efetue derivação e substituição).
Sejam A = {(x, y) ∈ R² | 1 + x² ≤ y ≤ 2 + x², x ≥ 0} e y ≥ x + x² e B = {(u, v) ∈ R² | 1 <= v <= 2, v >= u} e u ≥ 0. Verifique que a área de A é igual à área de B.
Calcular, por Séries de Potências, o valor do seguintes limites: lim x 0 arctg x-sen xx^3 cos x