Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries de potências abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências dada por:
Para isso, vamos usar conceitos de suas séries de potências, especificamente o teste da razão ou o teste da raiz para determinar onde a série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o raio de convergência. Ele nos diz o quanto o valor de
pode variar para que a série de potências ainda converja. Já o intervalo de convergência é simplesmente o conjunto de todos os valores de
que fazem a série convergir.
Passo 3
Vamos usar o teste da raiz para encontrar o raio de convergência. Esse teste diz que:
onde
é o coeficiente da série. No nosso caso,
.
Passo 4
Vamos calcular
:
Agora, vamos analisar o comportamento dessa expressão quando
tende ao infinito.
Passo 5
Observamos que:
Quando
vai para o infinito,
tende a zero, então:
Portanto, a expressão simplifica para:
Passo 6
Aplicando o resultado ao teste da raiz:
Isso significa que o raio de convergência é infinito.
Passo 7
Com o raio de convergência sendo infinito, o intervalo de convergência também é todo o conjunto dos números reais, ou seja,
.
Resposta
O raio de convergência da série é infinito, e o intervalo de convergência é
(todos os números reais).
Exercícios relacionados
Expresse a função
em série de potências de
.
Encontre a série de Taylor centrada em
da função
especificando seu raio de convergência. (Sugestão: A partir da série geométrica, efetue derivação e substituição).
Sejam
e
e
e
. Verifique que a área de
é igual à área de
.
Calcular, por Séries de Potências, o valor do seguintes limites: