Sejam
e
e
e
. Verifique que a área de
é igual à área de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre dois conjuntos de pontos no plano, chamados
e
. Nosso objetivo é mostrar que a área de
é igual à área de
. Para isso, vamos usar conceitos de integração e mudança de variáveis em cálculo. Precisaremos entender como calcular áreas de regiões definidas por desigualdades e como transformar uma região em outra mantendo a área igual.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor o conjunto
. Ele é definido por:
Isso significa que
está entre
e
,
é maior ou igual a 0, e
também deve ser maior ou igual a
. Vamos visualizar essa região para entender melhor como calcular sua área.
Passo 3
Agora, vamos olhar o conjunto
:
Aqui,
está entre 1 e 2,
também é maior ou igual a
, e
é maior ou igual a 0. Esta é uma região mais simples e retangular, facilitando o cálculo da área.
Passo 4
Para comparar as áreas de
e
, vamos usar a mudança de variáveis. Precisamos encontrar uma transformação que mapeie a região
para a região
de forma que a área seja preservada. Vamos definir uma transformação
que relaciona
de
com
de
.
Passo 5
Definimos a transformação
como:
Essa transformação mapeia cada ponto
da região
para um ponto
na região
. Agora, precisamos calcular o Jacobian dessa transformação para verificar como a área é afetada.
Passo 6
O Jacobian
é a matriz das derivadas parciais da transformação:
O determinante do Jacobian
nos dirá como as áreas são escaladas pela transformação.
Passo 7
Calculamos o determinante de
:
Como o determinante é 1, a transformação
preserva a área. Isso significa que a área de
é igual à área de
.
Resposta
Portanto, verificamos que a área de
é igual à área de
.
Exercícios relacionados
Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries de potências abaixo:
Expresse a função
em série de potências de
.
Calcular, por Séries de Potências, o valor do seguintes limites:
Calcule os seguintes limites:
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