Sejam A = {(x, y) ∈ R² | 1 + x² ≤ y ≤ 2 + x², x ≥ 0} e y ≥ x + x² e B = {(u, v) ∈ R² | 1 <= v <= 2, v >= u} e u ≥ 0. Verifique que a área de A é igual à área de B.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre dois conjuntos de pontos no plano, chamados e . Nosso objetivo é mostrar que a área de é igual à área de . Para isso, vamos usar conceitos de integração e mudança de variáveis em cálculo. Precisaremos entender como calcular áreas de regiões definidas por desigualdades e como transformar uma região em outra mantendo a área igual.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor o conjunto . Ele é definido por:
Isso significa que está entre e , é maior ou igual a 0, e também deve ser maior ou igual a . Vamos visualizar essa região para entender melhor como calcular sua área.

Passo 3

Agora, vamos olhar o conjunto :
Aqui, está entre 1 e 2, também é maior ou igual a , e é maior ou igual a 0. Esta é uma região mais simples e retangular, facilitando o cálculo da área.

Passo 4

Para comparar as áreas de e , vamos usar a mudança de variáveis. Precisamos encontrar uma transformação que mapeie a região para a região de forma que a área seja preservada. Vamos definir uma transformação que relaciona de com de .

Passo 5

Definimos a transformação como:
Essa transformação mapeia cada ponto da região para um ponto na região . Agora, precisamos calcular o Jacobian dessa transformação para verificar como a área é afetada.

Passo 6

O Jacobian é a matriz das derivadas parciais da transformação:
O determinante do Jacobian nos dirá como as áreas são escaladas pela transformação.

Passo 7

Calculamos o determinante de :
Como o determinante é 1, a transformação preserva a área. Isso significa que a área de é igual à área de .

Resposta

Portanto, verificamos que a área de é igual à área de .

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