Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries de potências abaixo:
Passo 1
Então, a gente tem uma série de potências que é assim:
. A matéria aqui é sobre convergência de séries de potências. Para resolver isso, vamos precisar encontrar o raio de convergência usando o teste da raiz e depois determinar o intervalo de convergência baseado nesse raio.
Passo 2
Primeiro, vamos usar o teste da raiz para achar o raio de convergência. Esse teste diz que a série
converge se:
No nosso caso,
. Então, vamos calcular:
Simplificando mais:
E sabemos que:
Portanto:
Para a série convergir, precisamos que:
Passo 3
Agora, vamos resolver a inequação
:
Subtraindo 2 de todos os lados:
Dividindo tudo por 5:
Então, o raio de convergência é
e o intervalo de convergência inicialmente é
.
Passo 4
Agora, precisamos verificar os pontos finais do intervalo para ver se a série converge ou não nesses valores.
-
Para
: Substituindo na série:A série fica:Esta é uma série alternada. Pelo teste da série alternada, seé decrescente e tende a zero, a série converge. Como é o caso, a série converge nesse ponto. -
Para
: Substituindo na série:A série fica:Esta é uma série p com. Sabemos que a série p converge se . Como , a série diverge nesse ponto.
Resposta
O raio de convergência é
e o intervalo de convergência é
.
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ao redor do ponto
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