Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries de potências abaixo: sumn=1^infty (5 x+2)^nraiz[3]n

Passo 1

Então, a gente tem uma série de potências que é assim: . A matéria aqui é sobre convergência de séries de potências. Para resolver isso, vamos precisar encontrar o raio de convergência usando o teste da raiz e depois determinar o intervalo de convergência baseado nesse raio.

Passo 2

Primeiro, vamos usar o teste da raiz para achar o raio de convergência. Esse teste diz que a série limn to infty raiz[n]|an| < 1 converge se:
raiz[n]|an| = raiz[n]|5x + 2|^nraiz[3]n = |5x + 2| cdot raiz[n]1raiz[3]n
No nosso caso, raiz[n]1raiz[3]n = (1n^1/3)^1/n = n^-1/(3n) . Então, vamos calcular:
limn to infty n^-1/(3n) = 1
Simplificando mais:
limn to infty raiz[n]|an| = |5x + 2|
E sabemos que:
|5x + 2| < 1
Portanto:
Para a série convergir, precisamos que:

Passo 3

Agora, vamos resolver a inequação -1 < 5x + 2 < 1 :
-3 < 5x < -1
Subtraindo 2 de todos os lados:
-35 < x < -15
Dividindo tudo por 5:
Então, o raio de convergência é e o intervalo de convergência inicialmente é .

Passo 4

Agora, precisamos verificar os pontos finais do intervalo para ver se a série converge ou não nesses valores.
  1. Para 5(-35) + 2 = -3 + 2 = -1 :
    Substituindo na série:
    sumn=1^infty (-1)^nraiz[3]n
    A série fica:
    5(-15) + 2 = -1 + 2 = 1
    Esta é uma série alternada. Pelo teste da série alternada, se sumn=1^infty 1raiz[3]n é decrescente e tende a zero, a série converge. Como é o caso, a série converge nesse ponto.
  2. Para :
    Substituindo na série:
    A série fica:
    Esta é uma série p com . Sabemos que a série p converge se . Como , a série diverge nesse ponto.

Resposta

O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .

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