Calcular a solução geral das equações, onde são dadas soluções particulares das mesmas.
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, onde
é solução particular.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial! O enunciado nos dá a seguinte equação:
E também nos informa que
é uma solução particular. O conteúdo que vamos usar aqui envolve equações diferenciais de Riccati, que são um tipo de equação não linear de primeira ordem. Para resolver, precisamos transformar essa equação usando a solução particular que nos foi dada.
Passo 2
Primeiro, vamos usar a solução particular
para simplificar a equação. A ideia é fazer uma substituição que torne a equação linear.
Vamos definir:
Onde
é uma nova função que precisamos encontrar. Essa substituição ajuda a transformar a equação original em uma mais simples.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada de
em relação a
:
Substituindo
e
na equação original:
Passo 4
Simplificando a equação:
Observamos que muitos termos se cancelam:
Então, simplificando ainda mais:
Passo 5
Multiplicando ambos os lados por
:
Isso significa que
é uma constante. Vamos chamar essa constante de
.
Passo 6
Como
, podemos substituir de volta na expressão para
:
Mas
é uma constante, então podemos reescrever
como outra constante, digamos
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.
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.
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.
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(06)
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