Calcular a solução geral das equações, onde são dadas soluções particulares das mesmas.
© d y/d x - (1 + 2 e^x) y + y^2 = -e^(2 x), onde y = e^x é solução particular.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial! O enunciado nos dá a seguinte equação:
E também nos informa que é uma solução particular. O conteúdo que vamos usar aqui envolve equações diferenciais de Riccati, que são um tipo de equação não linear de primeira ordem. Para resolver, precisamos transformar essa equação usando a solução particular que nos foi dada.

Passo 2

Primeiro, vamos usar a solução particular para simplificar a equação. A ideia é fazer uma substituição que torne a equação linear.
Vamos definir:
Onde é uma nova função que precisamos encontrar. Essa substituição ajuda a transformar a equação original em uma mais simples.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de em relação a :
Substituindo e na equação original:

Passo 4

Simplificando a equação:
Observamos que muitos termos se cancelam:
Então, simplificando ainda mais:

Passo 5

Multiplicando ambos os lados por :
Isso significa que é uma constante. Vamos chamar essa constante de .

Passo 6

Como , podemos substituir de volta na expressão para :
Mas é uma constante, então podemos reescrever como outra constante, digamos :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante arbitrária.

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