Encontre a massa de uma placa fina que cobre a região externa à circunferência e interna da circunferência se a função densidade da placa for .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de cálculo de massa de uma placa fina que está entre duas circunferências: uma com raio e outra com raio . A densidade da placa é dada por . Para resolver isso, vamos usar Geometria Analítica e Cálculo Integral em coordenadas polares. Precisamos calcular uma integral dupla que vai nos dar a massa total da placa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as duas circunferências que definem a região. A circunferência é um círculo fixo com raio 3. Já a circunferência representa um círculo deslocado. Para visualizar melhor, vamos encontrar os pontos de interseção dessas duas curvas.

Passo 3

Para achar os pontos de interseção, igualamos as duas equações:
Resolvendo para :
Os valores de que satisfazem essa equação são e .

Passo 4

Com os ângulos de interseção encontrados, sabemos que a região de integração está entre e . Nessa faixa de ângulos, o raio varia de 3 até .

Passo 5

Agora, vamos montar a integral dupla para calcular a massa. Em coordenadas polares, o elemento de área é dado por:
A densidade é , então a massa será:

Passo 6

Simplificando a integral, já que :
Primeiro, integraremos em relação a :

Passo 7

Agora, substituímos na integral:
Vamos resolver essa integral separadamente:

Passo 8

Calculando cada parte:
  1. Para :
  1. Para :

Passo 9

Substituindo de volta:

Resposta

A massa da placa é unidades de massa.

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.
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(06)
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(a) ;
(b) ;
© .