Encontre a massa de uma placa fina que cobre a região externa à circunferência e interna da circunferência se a função densidade da placa for .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de cálculo de massa de uma placa fina que está entre duas circunferências: uma com raio e outra com raio . A densidade da placa é dada por . Para resolver isso, vamos usar Geometria Analítica e Cálculo Integral em coordenadas polares. Precisamos calcular uma integral dupla que vai nos dar a massa total da placa.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as duas circunferências que definem a região. A circunferência é um círculo fixo com raio 3. Já a circunferência representa um círculo deslocado. Para visualizar melhor, vamos encontrar os pontos de interseção dessas duas curvas.
Passo 3
Para achar os pontos de interseção, igualamos as duas equações:
Resolvendo para :
Os valores de que satisfazem essa equação são e .
Passo 4
Com os ângulos de interseção encontrados, sabemos que a região de integração está entre e . Nessa faixa de ângulos, o raio varia de 3 até .
Passo 5
Agora, vamos montar a integral dupla para calcular a massa. Em coordenadas polares, o elemento de área é dado por: