A solução de um certo sistema massa-mola satisfaz o P.V.I.
.
Encontre a solução do PVI, determine a amplitude do movimento da massa, faça um gráfico da solução e interprete o problema e a solução.
Encontre a solução do PVI, determine a amplitude do movimento da massa, faça um gráfico da solução e interprete o problema e a solução.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de um sistema massa-mola! A gente tem uma equação diferencial que descreve o movimento da massa presa na mola. A equação é
com as condições iniciais
e
. Vamos precisar usar conhecimentos de equações diferenciais lineares e soluções de movimentos harmônicos simples para achar a solução, determinar a amplitude do movimento, fazer um gráfico e interpretar tudo isso.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação diferencial
. Essa é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. A gente começa encontrando a equação característica associada:
Resolvendo para
:
Como as raízes são complexas conjugadas, a solução geral da equação é:
Passo 3
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes
e
. Primeiro, usamos
:
Agora, usamos a segunda condição
. Primeiro, calculamos a derivada de
:
Aplicando
:
Passo 4
Com os valores de
e
encontrados, a solução particular do PVI é:
Passo 5
Agora, vamos determinar a amplitude do movimento. A amplitude
é o coeficiente que multiplica a função seno ou cosseno na solução. Aqui, a amplitude é:
Isso significa que a massa oscila entre
e
.
Passo 6
Para fazer um gráfico da solução
, podemos esboçar uma onda senooidal com amplitude
e frequência angular
. O gráfico será uma curva oscilando acima e abaixo do eixo
, atingindo seu ponto máximo em
e mínimo em
.
Passo 7
Interpretando o problema: estamos analisando o movimento de uma massa presa a uma mola, onde a massa está oscilando de um lado para o outro ao longo do tempo. A equação diferencial representa o equilíbrio entre a força restauradora da mola e a inércia da massa. A solução mostra que a massa realiza um movimento harmônico simples com amplitude
, o que indica até que ponto ela se desloca do ponto de equilíbrio, e a frequência angular
nos diz quão rápido essas oscilações ocorrem.
Resposta
A solução do PVI é
. A amplitude do movimento da massa é
. O gráfico é uma onda senooidal com amplitude
e frequencia angular
, representando o movimento harmônico simples da massa na mola.