A solução de um certo sistema massa-mola satisfaz o P.V.I.
.
Encontre a solução do PVI, determine a amplitude do movimento da massa, faça um gráfico da solução e interprete o problema e a solução.
Encontre a solução do PVI, determine a amplitude do movimento da massa, faça um gráfico da solução e interprete o problema e a solução.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de um sistema massa-mola! A gente tem uma equação diferencial que descreve o movimento da massa presa na mola. A equação é
com as condições iniciais
e
. Vamos precisar usar conhecimentos de equações diferenciais lineares e soluções de movimentos harmônicos simples para achar a solução, determinar a amplitude do movimento, fazer um gráfico e interpretar tudo isso.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação diferencial
. Essa é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. A gente começa encontrando a equação característica associada:
Resolvendo para
:
Como as raízes são complexas conjugadas, a solução geral da equação é:
Passo 3
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes
e
. Primeiro, usamos
:
Agora, usamos a segunda condição
. Primeiro, calculamos a derivada de
:
Aplicando
:
Passo 4
Com os valores de
e
encontrados, a solução particular do PVI é:
Passo 5
Agora, vamos determinar a amplitude do movimento. A amplitude
é o coeficiente que multiplica a função seno ou cosseno na solução. Aqui, a amplitude é:
Isso significa que a massa oscila entre
e
.
Passo 6
Para fazer um gráfico da solução
, podemos esboçar uma onda senooidal com amplitude
e frequência angular
. O gráfico será uma curva oscilando acima e abaixo do eixo
, atingindo seu ponto máximo em
e mínimo em
.
Passo 7
Interpretando o problema: estamos analisando o movimento de uma massa presa a uma mola, onde a massa está oscilando de um lado para o outro ao longo do tempo. A equação diferencial representa o equilíbrio entre a força restauradora da mola e a inércia da massa. A solução mostra que a massa realiza um movimento harmônico simples com amplitude
, o que indica até que ponto ela se desloca do ponto de equilíbrio, e a frequência angular
nos diz quão rápido essas oscilações ocorrem.
Resposta
A solução do PVI é
. A amplitude do movimento da massa é
. O gráfico é uma onda senooidal com amplitude
e frequencia angular
, representando o movimento harmônico simples da massa na mola.
Exercícios relacionados
Verificar que as funções dadas formam um conjunto fundamental de soluções da equação homogênea correspondente. Depois, determinar uma solução particular da equação não homogênea:
Encontre a solução do sistema forçado com amortecimento
.
Faça um esboço do gráfico da solução do P.V.I.
Faça um esboço do gráfico da solução do P.V.I.
Calcular a solução geral das equações, onde são dadas soluções particulares das mesmas.
© , onde
é solução particular.
©