A solução de um certo sistema massa-mola satisfaz o P.V.I.
u'' + 2u = 0, u(0) = 0, u'(0) = 2.
Encontre a solução do PVI, determine a amplitude do movimento da massa, faça um gráfico da solução e interprete o problema e a solução.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de um sistema massa-mola! A gente tem uma equação diferencial que descreve o movimento da massa presa na mola. A equação é com as condições iniciais e . Vamos precisar usar conhecimentos de equações diferenciais lineares e soluções de movimentos harmônicos simples para achar a solução, determinar a amplitude do movimento, fazer um gráfico e interpretar tudo isso.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação diferencial . Essa é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. A gente começa encontrando a equação característica associada:
Resolvendo para :
Como as raízes são complexas conjugadas, a solução geral da equação é:

Passo 3

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes e . Primeiro, usamos :
Agora, usamos a segunda condição . Primeiro, calculamos a derivada de :
Aplicando :

Passo 4

Com os valores de e encontrados, a solução particular do PVI é:

Passo 5

Agora, vamos determinar a amplitude do movimento. A amplitude é o coeficiente que multiplica a função seno ou cosseno na solução. Aqui, a amplitude é:
Isso significa que a massa oscila entre e .

Passo 6

Para fazer um gráfico da solução , podemos esboçar uma onda senooidal com amplitude e frequência angular . O gráfico será uma curva oscilando acima e abaixo do eixo , atingindo seu ponto máximo em e mínimo em .

Passo 7

Interpretando o problema: estamos analisando o movimento de uma massa presa a uma mola, onde a massa está oscilando de um lado para o outro ao longo do tempo. A equação diferencial representa o equilíbrio entre a força restauradora da mola e a inércia da massa. A solução mostra que a massa realiza um movimento harmônico simples com amplitude , o que indica até que ponto ela se desloca do ponto de equilíbrio, e a frequência angular nos diz quão rápido essas oscilações ocorrem.

Resposta

A solução do PVI é . A amplitude do movimento da massa é . O gráfico é uma onda senooidal com amplitude e frequencia angular , representando o movimento harmônico simples da massa na mola.

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