Encontre a solução do sistema forçado com amortecimento
.
Faça um esboço do gráfico da solução do P.V.I.
Faça um esboço do gráfico da solução do P.V.I.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um sistema forçado com amortecimento, representado pela equação diferencial:
com as condições iniciais
e
.
Matéria envolvida: Equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes, especialmente aquelas que modelam sistemas amortecidos forçados.
O que vamos precisar: Para resolver isso, vamos quebrar a solução em duas partes:
- Solução geral da equação homogênea (sem o termo forçado).
- Solução particular da equação completa (com o termo forçado).
Depois, aplicamos as condições iniciais para encontrar as constantes específicas da solução.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, encontramos os coeficientes característicos resolvendo a equação característica:
Calculando o discriminante:
Como o discriminante é negativo, as raízes são complexas:
Então, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes que vamos determinar depois.
Passo 3
Agora, vamos achar uma solução particular da equação completa:
Como o termo forçado é
, vamos supor uma solução particular da forma:
Vamos derivar
:
Substituindo
,
e
na equação original:
Simplificando:
Para que essa igualdade seja verdadeira para todos os
, os coeficientes de
e
devem ser iguais:
Resolvendo esse sistema:
Da segunda equação:
Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Então:
Portanto, a solução particular é:
Passo 4
Juntando a solução geral da equação homogênea
com a solução particular
, temos a solução geral da equação completa:
Passo 5
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores de
e
.
Primeiro, para
:
Então:
Agora, derivamos a solução para aplicar a segunda condição inicial:
Para
:
Substituindo
:
Então,
.
Passo 6
Agora que temos os valores de
e
, vamos substituir na solução geral:
Podemos deixar assim ou simplificar numericamente os coeficientes, se preferir.
Passo 7
Para esboçar o gráfico da solução
, observamos que a solução é a soma de dois termos:
-
Termo amortecido:
decai exponencialmente devido ao fator . -
Termo forçado:
é uma oscilação constante com amplitude fixa.
Comportamento do gráfico:
- No início (
), o termo amortecido domina, mas conforme aumenta, ele diminui e o termo forçado se torna predominante. - A solução tende a oscilar de maneira estável com a frequência de
e amplitude determinada pelos coeficientes do termo forçado.
Resposta
A solução do sistema forçado com amortecimento dada pelas condições iniciais é:
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.
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©
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.