Encontre a solução do sistema forçado com amortecimento
.
Faça um esboço do gráfico da solução do P.V.I.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um sistema forçado com amortecimento, representado pela equação diferencial:
com as condições iniciais e .
Matéria envolvida: Equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes, especialmente aquelas que modelam sistemas amortecidos forçados.
O que vamos precisar: Para resolver isso, vamos quebrar a solução em duas partes:
  1. Solução geral da equação homogênea (sem o termo forçado).
  2. Solução particular da equação completa (com o termo forçado).
Depois, aplicamos as condições iniciais para encontrar as constantes específicas da solução.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, encontramos os coeficientes característicos resolvendo a equação característica:
Calculando o discriminante:
Como o discriminante é negativo, as raízes são complexas:
Então, a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes que vamos determinar depois.

Passo 3

Agora, vamos achar uma solução particular da equação completa:
Como o termo forçado é , vamos supor uma solução particular da forma:
Vamos derivar :
Substituindo , e na equação original:
Simplificando:
Para que essa igualdade seja verdadeira para todos os , os coeficientes de e devem ser iguais:
Resolvendo esse sistema:
Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Então:
Portanto, a solução particular é:

Passo 4

Juntando a solução geral da equação homogênea com a solução particular , temos a solução geral da equação completa:

Passo 5

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores de e .
Primeiro, para :
Então:
Agora, derivamos a solução para aplicar a segunda condição inicial:
Para :
Substituindo :
Então, .

Passo 6

Agora que temos os valores de e , vamos substituir na solução geral:
Podemos deixar assim ou simplificar numericamente os coeficientes, se preferir.

Passo 7

Para esboçar o gráfico da solução , observamos que a solução é a soma de dois termos:
  1. Termo amortecido: decai exponencialmente devido ao fator .
  2. Termo forçado: é uma oscilação constante com amplitude fixa.
Comportamento do gráfico:
  • No início ( ), o termo amortecido domina, mas conforme aumenta, ele diminui e o termo forçado se torna predominante.
  • A solução tende a oscilar de maneira estável com a frequência de e amplitude determinada pelos coeficientes do termo forçado.

Resposta

A solução do sistema forçado com amortecimento dada pelas condições iniciais é:

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