Resolva o seguinte PVI:
Passo 1
Vamos resolver o PVI
com a condição inicial
. Esse problema está ligado ao estudo de equações diferenciais ordinárias, especificamente equações que podemos resolver separando as variáveis. Para resolver, vamos manipular a equação de forma a separar as partes que envolvem
das que envolvem
e então integrar ambos os lados.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a separação das variáveis:
Podemos reescrever
como
, então:
Agora, vamos multiplicar ambos os lados por
para separar os termos:
Passo 3
Vamos agora reorganizar a equação para isolar os termos com
de um lado e os termos com
do outro:
Aqui, conseguimos separar as variáveis
e
, o que nos permite integrar ambos os lados separadamente.
Passo 4
Vamos integrar ambos os lados da equação:
Primeiro, integramos o lado esquerdo:
Agora, integramos o lado direito:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Juntando os resultados das integrais, temos:
Agora, vamos usar a condição inicial
para encontrar o valor de
. Substituindo
e
:
Resposta
A solução do PVI é dada por:
Ou, rearranjando para expressar
de forma explícita:
Considerando a condição inicial
, a solução específica é: