Resolva o seguinte PVI:
y' = (2 pi) / (x y + x^2), y(1) = 0

Passo 1

Vamos resolver o PVI com a condição inicial . Esse problema está ligado ao estudo de equações diferenciais ordinárias, especificamente equações que podemos resolver separando as variáveis. Para resolver, vamos manipular a equação de forma a separar as partes que envolvem das que envolvem e então integrar ambos os lados.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a separação das variáveis:
Podemos reescrever como , então:
Agora, vamos multiplicar ambos os lados por para separar os termos:

Passo 3

Vamos agora reorganizar a equação para isolar os termos com de um lado e os termos com do outro:
Aqui, conseguimos separar as variáveis e , o que nos permite integrar ambos os lados separadamente.

Passo 4

Vamos integrar ambos os lados da equação:
Primeiro, integramos o lado esquerdo:
Agora, integramos o lado direito:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Juntando os resultados das integrais, temos:
Agora, vamos usar a condição inicial para encontrar o valor de . Substituindo e :

Resposta

A solução do PVI é dada por:
Ou, rearranjando para expressar de forma explícita:
Considerando a condição inicial , a solução específica é:

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