Determinar o ponto P, pertencente ao eixo das abscissas, sabendo que é equidistante dos pontos A(1, raiz3) e B(2, raiz2).

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois pontos, A(1, raiz3) e B(2, raiz2), e queremos encontrar um ponto P que está no eixo das abscissas (o eixo x) e que está à mesma distância de A e B. Para resolver isso, vamos usar a fórmula da distância entre dois pontos no plano cartesiano.

Passo 2

Como o ponto P está no eixo x, suas coordenadas serão (x, 0), onde x é o valor que precisamos encontrar.

Passo 3

Vamos calcular a distância entre P(x, 0) e A(1, raiz3). A fórmula da distância entre dois pontos (x1, y1) e (x2, y2) é:
d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2
Aplicando isso, temos:
PA = raiz(x - 1)^2 + (0 - raiz3)^2 = raiz(x - 1)^2 + 3

Passo 4

Agora, vamos calcular a distância entre P(x, 0) e B(2, raiz2) usando a mesma fórmula:
PB = raiz(x - 2)^2 + (0 - raiz2)^2 = raiz(x - 2)^2 + 2

Passo 5

Como o ponto P é equidistante de A e B, as distâncias PA e PB são iguais. Então, podemos igualar as duas expressões:
raiz(x - 1)^2 + 3 = raiz(x - 2)^2 + 2

Passo 6

Para resolver essa equação, vamos eliminar as raízes quadradas elevando ambos os lados ao quadrado:
(x - 1)^2 + 3 = (x - 2)^2 + 2

Passo 7

Expandindo os termos quadráticos:
(x^2 - 2x + 1) + 3 = (x^2 - 4x + 4) + 2
Simplificando:
x^2 - 2x + 4 = x^2 - 4x + 6

Passo 8

Vamos subtrair x^2 de ambos os lados para simplificar:
-2x + 4 = -4x + 6

Passo 9

Agora, vamos resolver para x. Primeiro, adicionamos 4x em ambos os lados:
2x + 4 = 6
Em seguida, subtraímos 4 de ambos os lados:
2x = 2
Finalmente, dividimos por 2:
x = 1

Resposta

O ponto P é (1, 0).

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