Calcular

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a soma de termos da forma para variando até 60. Isso envolve conhecimentos sobre séries geométricas e soma de termos constantes. Vamos precisar entender como somar uma série geométrica e somar termos que são constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a soma original em duas partes para facilitar a resolução:
Aqui, dividimos a soma em uma parte que envolve uma série geométrica ( ) e uma parte que é uma soma constante ( ).

Passo 3

Vamos calcular a primeira parte: .
Essa é uma série geométrica onde cada termo é a metade do anterior. A fórmula para a soma de uma série geométrica finita é:
Onde:
  • é a soma dos termos,
  • é o primeiro termo,
  • é a razão da série,
  • é o número de termos.
No nosso caso:
  • ,
  • ,
  • .
Aplicando a fórmula:
Como é um número extremamente pequeno, podemos aproximar essa soma para praticamente 1.

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda parte: .
Essa é uma soma constante, onde somamos 1, 60 vezes. Basta multiplicar:
Como na soma original tínhamos , o resultado será:

Passo 5

Finalmente, juntamos as duas partes:
A contribuição de é tão pequena que podemos ignorá-la para simplificar.

Resposta

A soma é aproximadamente .

Exercícios relacionados

A condição para que três números a,b e c estejam, simultaneamente em progressão aritmética e progressão geométrica é que:
b)
Sabe-se que o terceiro e o sétimo termos de uma progressão geométrica valem, respectivamente, 10 e 18. Qual é o quinto termo dessa progressão ?
A condição para que três números a,b e c estejam, simultaneamente em progressão aritmética e progressão geométrica é que:
a)
(a) Construa uma função que descreva o custo do Material empregado em função do lado da base.
(b) Determine as dimensões da caixa que minimizam o custo do material empregado.