Calcular sum^60(2^-i-1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a soma de termos da forma para variando até 60. Isso envolve conhecimentos sobre séries geométricas e soma de termos constantes. Vamos precisar entender como somar uma série geométrica e somar termos que são constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a soma original em duas partes para facilitar a resolução:
sumi=1^60 (2^-i - 1) = sumi=1^60 2^-i - sumi=1^60 1
Aqui, dividimos a soma em uma parte que envolve uma série geométrica ( ) e uma parte que é uma soma constante ( ).

Passo 3

Vamos calcular a primeira parte: Sn = a1 (1 - r^n)1 - r .
Essa é uma série geométrica onde cada termo é a metade do anterior. A fórmula para a soma de uma série geométrica finita é:
S60 = 12 (1 - (12)^60)1 - 12 = 12 (1 - 2^-60)12 = 1 - 2^-60
Onde:
  • é a soma dos termos,
  • é o primeiro termo,
  • é a razão da série,
  • é o número de termos.
No nosso caso:
  • ,
  • ,
  • .
Aplicando a fórmula:
Como é um número extremamente pequeno, podemos aproximar essa soma para praticamente 1.

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda parte: sumi=1^60 1 = 60 times 1 = 60 .
Essa é uma soma constante, onde somamos 1, 60 vezes. Basta multiplicar:
sumi=1^60 (-1) = -60
Como na soma original tínhamos , o resultado será:

Passo 5

Finalmente, juntamos as duas partes:
sumi=1^60 (2^-i - 1) = (1 - 2^-60) - 60 approx 1 - 60 = -59
A contribuição de é tão pequena que podemos ignorá-la para simplificar.

Resposta

A soma é aproximadamente .

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