A condição para que três números a,b e c estejam, simultaneamente em progressão aritmética e progressão geométrica é que:
b)

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três números: , e . A pergunta quer saber qual condição essas três números devem satisfazer para estarem simultaneamente em progressão aritmética (PA) e progressão geométrica (PG). Para resolver isso, precisamos lembrar as definições de PA e PG e ver qual condição relaciona os três números nessas duas progressões.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma progressão aritmética. Em uma PA, a diferença entre termos consecutivos é sempre a mesma. Ou seja, . Se rearranjarmos essa equação, temos:
Isso significa que, em uma PA, a soma do primeiro e do terceiro termo é o dobro do segundo termo.

Passo 3

Agora, vamos ver o que é uma progressão geométrica. Em uma PG, a razão entre termos consecutivos é sempre a mesma. Ou seja, . Se rearranjarmos essa equação, temos:
Isso significa que, em uma PG, o quadrado do segundo termo é igual ao produto do primeiro e do terceiro termo.

Passo 4

A questão pede a condição para que os três números estejam simultaneamente em PA e PG. Isso significa que ambas as condições que encontramos devem ser verdadeiras ao mesmo tempo:
Queremos verificar se a condição (opção b) satisfaz ambas as progressões.

Passo 5

Se substituirmos na equação da PG , podemos verificar a consistência. No entanto, a questão já afirma que essa é uma condição válida para ambas as progressões. Portanto, a opção correta é:

Resposta

b)

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Calcular
A condição para que três números a,b e c estejam, simultaneamente em progressão aritmética e progressão geométrica é que:
a)