(a) Construa uma função que descreva o custo do Material empregado em função do lado da base. (b) Determine as dimensões da caixa que minimizam o custo do material empregado.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que construir uma função que descreva o **custo do material** usado para fabricar uma caixa, em termos do **lado da base**. Isso envolve conhecimentos de **funções matemáticas** e **otimização**, onde queremos relacionar o custo com as dimensões da caixa.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as variáveis:
- Seja o comprimento de um lado da base da caixa (em centímetros, por exemplo).
- Seja a altura da caixa.
Passo 3
Assumindo que a caixa é retangular e tem uma base quadrada, a área da base será .
Passo 4
O **volume** da caixa é dado por . Se o volume for fixo, podemos expressar em função de :
Passo 5
Para construir a caixa, precisamos de material para a base, o topo e as quatro laterais. Supondo que o custo do material por unidade de área seja constante, o custo total será proporcional à área total utilizada.
Passo 6
A área total da caixa é:
Substituindo :
Passo 7
Assim, a função de custo em função de fica:
Onde representa o custo por unidade de área do material.
Passo 8
Para simplificar, podemos considerar (ou incorporar na expressão final se necessário):
Passo 9
Portanto, a função que descreve o custo do material em função do lado da base é:
Passo 10
Agora, queremos encontrar as dimensões da caixa que minimizam esse custo. Isso significa encontrar o valor de que minimiza .
Passo 11
Para encontrar o mínimo da função, calculamos a derivada de em relação a e igualamos a zero:
Passo 12
Resolvendo a equação:
Multiplicando ambos os lados por :
Dividindo por 4:
Passo 13
Com o valor de , podemos encontrar usando:
Substituindo :
Passo 14
Portanto, as dimensões que minimizam o custo são:
- Lado da base:
- Altura:
Resposta
As dimensões da caixa que minimizam o custo do material são:
- Lado da base:
- Altura:
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