(a) Construa uma função que descreva o custo do Material empregado em função do lado da base.
(b) Determine as dimensões da caixa que minimizam o custo do material empregado.
(b) Determine as dimensões da caixa que minimizam o custo do material empregado.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que construir uma função que descreva o custo do material usado para fabricar uma caixa, em termos do lado da base. Isso envolve conhecimentos de funções matemáticas e otimização, onde queremos relacionar o custo com as dimensões da caixa.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as variáveis:
- Seja
o comprimento de um lado da base da caixa (em centímetros, por exemplo). - Seja
a altura da caixa.
Passo 3
Assumindo que a caixa é retangular e tem uma base quadrada, a área da base será
.
Passo 4
O volume da caixa é dado por
. Se o volume for fixo, podemos expressar
em função de
:
Passo 5
Para construir a caixa, precisamos de material para a base, o topo e as quatro laterais. Supondo que o custo do material por unidade de área seja constante, o custo total
será proporcional à área total utilizada.
Passo 6
A área total da caixa é:
Substituindo
:
Passo 7
Assim, a função de custo em função de
fica:
Onde
representa o custo por unidade de área do material.
Passo 8
Para simplificar, podemos considerar
(ou incorporar
na expressão final se necessário):
Passo 9
Portanto, a função que descreve o custo do material em função do lado da base
é:
Passo 10
Agora, queremos encontrar as dimensões da caixa que minimizam esse custo. Isso significa encontrar o valor de
que minimiza
.
Passo 11
Para encontrar o mínimo da função, calculamos a derivada de
em relação a
e igualamos a zero:
Passo 12
Resolvendo a equação:
Multiplicando ambos os lados por
:
Dividindo por 4:
Passo 13
Com o valor de
, podemos encontrar
usando:
Substituindo
:
Passo 14
Portanto, as dimensões que minimizam o custo são:
- Lado da base:
- Altura:
Resposta
As dimensões da caixa que minimizam o custo do material são:
- Lado da base:
- Altura: