(a) Construa uma função que descreva o custo do Material empregado em função do lado da base.
(b) Determine as dimensões da caixa que minimizam o custo do material empregado.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que construir uma função que descreva o custo do material usado para fabricar uma caixa, em termos do lado da base. Isso envolve conhecimentos de funções matemáticas e otimização, onde queremos relacionar o custo com as dimensões da caixa.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as variáveis:
  • Seja o comprimento de um lado da base da caixa (em centímetros, por exemplo).
  • Seja a altura da caixa.

Passo 3

Assumindo que a caixa é retangular e tem uma base quadrada, a área da base será .

Passo 4

O volume da caixa é dado por . Se o volume for fixo, podemos expressar em função de :

Passo 5

Para construir a caixa, precisamos de material para a base, o topo e as quatro laterais. Supondo que o custo do material por unidade de área seja constante, o custo total será proporcional à área total utilizada.

Passo 6

A área total da caixa é:
Á
Substituindo :
Á

Passo 7

Assim, a função de custo em função de fica:
Onde representa o custo por unidade de área do material.

Passo 8

Para simplificar, podemos considerar (ou incorporar na expressão final se necessário):

Passo 9

Portanto, a função que descreve o custo do material em função do lado da base é:

Passo 10

Agora, queremos encontrar as dimensões da caixa que minimizam esse custo. Isso significa encontrar o valor de que minimiza .

Passo 11

Para encontrar o mínimo da função, calculamos a derivada de em relação a e igualamos a zero:

Passo 12

Resolvendo a equação:
Multiplicando ambos os lados por :
Dividindo por 4:

Passo 13

Com o valor de , podemos encontrar usando:
Substituindo :

Passo 14

Portanto, as dimensões que minimizam o custo são:
  • Lado da base:
  • Altura:

Resposta

As dimensões da caixa que minimizam o custo do material são:
  • Lado da base:
  • Altura:

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