Calcular A. A^t e A^t. A; onde A=(ccccc1 & 2 & 3 & cdots & n 2 & 3 & 4 & cdots & n+1).

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma matriz A = 1 & 2 & 3 & cdots & n 2 & 3 & 4 & cdots & n+1 definida como:
Precisamos calcular:
  1. A própria matriz .
  2. A transposta de , denotada por .
  3. O produto da transposta de pela matriz , ou seja, .
Para isso, vamos precisar saber o que é a matriz transposta e como multiplicar matrizes.

Passo 2

Primeiro, já temos a matriz A = 1 & 2 & 3 & cdots & n 2 & 3 & 4 & cdots & n+1 definida no enunciado, então não precisamos calcular nada aqui. Ela é:

Passo 3

Agora, vamos calcular a transposta de A = 1 & 2 & 3 & cdots & n 2 & 3 & 4 & cdots & n+1 . A transposta de uma matriz é obtida trocando suas linhas por colunas. Ou seja, a primeira linha de A^t = 1 & 2 2 & 3 3 & 4 vdots & vdots n & n+1 vira a primeira coluna de , a segunda linha vira a segunda coluna, e assim por diante.
Dada a matriz :
A transposta será:

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto (A^t cdot A)i,j = a1i cdot a1j + a2i cdot a2j . Para multiplicar duas matrizes, o número de colunas da primeira matriz deve ser igual ao número de linhas da segunda matriz. No nosso caso, A = 1 & 2 & 3 & cdots & n 2 & 3 & 4 & cdots & n+1 é uma matriz de dimensão a1i = i e a2i = i + 1 e (A^t cdot A)i,j = i cdot j + (i + 1)(j + 1) = i j + (i j + i + j + 1) = 2 i j + i + j + 1 é , então o produto será uma matriz .
A multiplicação de matrizes é feita multiplicando os elementos das linhas da primeira matriz pelos elementos das colunas da segunda matriz e somando os resultados.
Vamos calcular um elemento genérico da matriz :
Sabemos que:
Então:
Portanto:

Resposta

A matriz (A^t cdot A)i,j = 2 i j + i + j + 1 é uma matriz onde cada elemento é dado por:

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