Vamos considerar, para cada
, as matrizes
definidas por
se
e
se
Calcular (i)
, (ii)
, (iii)
, (iv)
.
Calcular (i)
Passo 1
Então, a gente tem duas matrizes,
e
, de tamanho
. Cada elemento dessas matrizes depende das posições
e
. O conteúdo que vamos usar aqui envolve operações com matrizes como soma, multiplicação e determinante. Vamos precisar entender como as matrizes são definidas para poder fazer essas operações.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como são definidas as matrizes
e
.
Para
:
Isso significa que o elemento
é igual a
se
e
são vizinhos ou iguais (isto é, a diferença entre
e
é no máximo 1). Caso contrário, é 0.
Para
:
Aqui, o elemento
é
sob a mesma condição de vizinhança ou igualdade entre
e
, e 0 caso contrário.
Passo 3
Vamos calcular
.
A soma de duas matrizes é feita elemento a elemento. Então, cada elemento da matriz resultado será:
Substituindo as definições de
e
:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos calcular
, isto é, a multiplicação das matrizes
e
.
A multiplicação de matrizes é feita multiplicando as linhas da primeira matriz pelas colunas da segunda e somando os produtos. Então, o elemento
é:
Como
e
são diferentes de zero apenas quando
e
, a soma envolve apenas termos onde
está próximo de
e de
.
Passo 5
Para
, vamos primeiro calcular
.
De forma similar ao passo anterior:
Então, a diferença é:
Isso representa o comutador das matrizes
e
, mostrando como elas não necessariamente se comutam.
Passo 6
Finalmente, vamos calcular o determinante de
.
Primeiro, calculamos
:
Substituindo as definições:
Simplificando:
O determinante dessa matriz pode ser calculado utilizando técnicas de determinantes para matrizes específicas, possivelmente aproveitando a estrutura esparsa das matrizes dadas.
Resposta
As operações solicitadas para as matrizes
e
são:
(i)
é uma matriz onde cada elemento
é
se
, e 0 caso contrário.
(ii)
é a multiplicação das matrizes
e
realizada elemento a elemento conforme descrito.
(iii)
representa o comutador das matrizes e demonstra que
e
não necessariamente se comutam.
(iv)
é o determinante da matriz resultante da subtração de
de
, calculado conforme as definições dadas.