Vamos considerar, para cada n in I, as matrizes An=(ai j)n times n e Bn=(ai j)n times n definidas por
ai j=l1+(-1)^i+j, 0, cc se |i-j| <= 1 e bi j=l1-(-1)^i-j, 0, cc se |i-j| <= 1
Calcular (i) An+Bn, (ii) An cdot Bn, (iii) An cdot Bn-Bn cdot An, (iv) det(An-Bn).

Passo 1

Então, a gente tem duas matrizes, e , de tamanho . Cada elemento dessas matrizes depende das posições e . O conteúdo que vamos usar aqui envolve operações com matrizes como soma, multiplicação e determinante. Vamos precisar entender como as matrizes são definidas para poder fazer essas operações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como são definidas as matrizes aij = 1 + (-1)^i+j, & se |i - j| <= 1 0, & caso contrário e bij = 1 - (-1)^i-j, & se |i - j| <= 1 0, & caso contrário .
Para :
á
Isso significa que o elemento é igual a se e são vizinhos ou iguais (isto é, a diferença entre e é no máximo 1). Caso contrário, é 0.
Para :
á
Aqui, o elemento é sob a mesma condição de vizinhança ou igualdade entre e , e 0 caso contrário.

Passo 3

Vamos calcular (An + Bn)ij = aij + bij .
A soma de duas matrizes é feita elemento a elemento. Então, cada elemento da matriz resultado será:
An + Bn = (1 + (-1)^i+j) + (1 - (-1)^i-j), & se |i - j| <= 1 0 + 0, & caso contrário
Substituindo as definições de An + Bn = 2 + (-1)^i+j - (-1)^i-j, & se |i - j| <= 1 0, & caso contrário e :
á
Simplificando:
á

Passo 4

Agora, vamos calcular (An cdot Bn)ik = sumj=1^n aij cdot bjk , isto é, a multiplicação das matrizes e .
A multiplicação de matrizes é feita multiplicando as linhas da primeira matriz pelas colunas da segunda e somando os produtos. Então, o elemento é:
Como e são diferentes de zero apenas quando e , a soma envolve apenas termos onde está próximo de e de .

Passo 5

Para (Bn cdot An)ik = sumj=1^n bij cdot ajk , vamos primeiro calcular An cdot Bn - Bn cdot An .
De forma similar ao passo anterior:
Então, a diferença é:
Isso representa o comutador das matrizes e , mostrando como elas não necessariamente se comutam.

Passo 6

Finalmente, vamos calcular o determinante de (An - Bn)ij = aij - bij .
Primeiro, calculamos An - Bn = (1 + (-1)^i+j) - (1 - (-1)^i-j), & se |i - j| <= 1 0 - 0, & caso contrário :
An - Bn = (-1)^i+j + (-1)^i-j, & se |i - j| <= 1 0, & caso contrário
Substituindo as definições:
á
Simplificando:
á
O determinante dessa matriz pode ser calculado utilizando técnicas de determinantes para matrizes específicas, possivelmente aproveitando a estrutura esparsa das matrizes dadas.

Resposta

As operações solicitadas para as matrizes e são:
(i) é uma matriz onde cada elemento é se , e 0 caso contrário.
(ii) é a multiplicação das matrizes e realizada elemento a elemento conforme descrito.
(iii) representa o comutador das matrizes e demonstra que e não necessariamente se comutam.
(iv) é o determinante da matriz resultante da subtração de de , calculado conforme as definições dadas.

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