Calcular todas as derivadas parciais de primeira ordem nos seguintes itens:
.

Passo 1

Beleza, hoje vamos resolver um exercício de derivadas parciais. A função que temos é . Vamos precisar usar as regras de derivação de funções compostas e produtos, além de lidar com logaritmos e exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que é um produto de duas funções: e . Para encontrar as derivadas parciais em relação a e , vamos usar a regra do produto.

Passo 3

Vamos começar calculando a derivada parcial de em relação a , que é denotada por . Usamos a regra do produto:
onde é a derivada de em relação a e é a derivada de em relação a .

Passo 4

Calculando . Aqui, aplicamos a regra da cadeia. A derivada de é . Então:
Portanto,

Passo 5

Agora, calculamos . Podemos simplificar o logaritmo:
Derivando em relação a :

Passo 6

Substituindo , , e na regra do produto:

Passo 7

Simplificando a expressão:
Podemos fatorar :

Passo 8

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , denotada por . Novamente, usamos a regra do produto:
onde é a derivada de em relação a e é a derivada de em relação a .

Passo 9

Calculando . Aplicando a regra da cadeia:
Portanto,

Passo 10

Agora, calculamos . Simplificando o logaritmo:
Derivando em relação a :

Passo 11

Substituindo , , e na regra do produto:

Passo 12

Simplificando a expressão:

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função são:
e

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a)
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, onde