Calcular todas as derivadas parciais de primeira ordem nos seguintes itens:
.
Passo 1
Beleza, hoje vamos resolver um exercício de derivadas parciais. A função que temos é
. Vamos precisar usar as regras de derivação de funções compostas e produtos, além de lidar com logaritmos e exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que
é um produto de duas funções:
e
. Para encontrar as derivadas parciais em relação a
e
, vamos usar a regra do produto.
Passo 3
Vamos começar calculando a derivada parcial de
em relação a
, que é denotada por
. Usamos a regra do produto:
onde
é a derivada de
em relação a
e
é a derivada de
em relação a
.
Passo 4
Calculando
. Aqui, aplicamos a regra da cadeia. A derivada de
é
. Então:
Portanto,
Passo 5
Agora, calculamos
. Podemos simplificar o logaritmo:
Derivando em relação a
:
Passo 6
Substituindo
,
,
e
na regra do produto:
Passo 7
Simplificando a expressão:
Podemos fatorar
:
Passo 8
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, denotada por
. Novamente, usamos a regra do produto:
onde
é a derivada de
em relação a
e
é a derivada de
em relação a
.
Passo 9
Calculando
. Aplicando a regra da cadeia:
Portanto,
Passo 10
Agora, calculamos
. Simplificando o logaritmo:
Derivando em relação a
:
Passo 11
Substituindo
,
,
e
na regra do produto:
Passo 12
Simplificando a expressão:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função
são:
e
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a)
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, onde