Use o método da variação dos parâmetros para obter a solução geral das seguintes equações diferenciais:
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o método da variação dos parâmetros. A equação que temos é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para usar a variação dos parâmetros, precisamos primeiro encontrar a solução geral da equação homogênea associada.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea:
Para isso, encontramos a equação característica:
Resolvendo essa equação quadrática:
Como temos uma raiz real dupla, a solução geral da homogênea é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa usando o método da variação dos parâmetros. Assumimos que:
Onde
e
são as soluções da homogênea.
Passo 4
Para encontrar
e
, usamos as seguintes condições:
Substituindo
e
:
Passo 5
Podemos resolver esse sistema de equações para
e
. Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Simplificando:
Portanto:
Passo 6
Integrando
:
Desconsideramos a constante de integração
pois estamos buscando uma solução particular.
Passo 7
Usando
:
Integrando:
Novamente, desconsideramos a constante de integração.
Passo 8
Agora, substituímos
e
na expressão da solução particular:
Substituindo:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Determine se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule-a.
Determine as soluções gerais das equações diferenciais dadas:
Resolva a equação diferencial
Calcular todas as derivadas parciais de primeira ordem nos seguintes itens:
.