Use o método da variação dos parâmetros para obter a solução geral das seguintes equações diferenciais:
a) y'' - 2y' + y = e^t / t^5

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o método da variação dos parâmetros. A equação que temos é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para usar a variação dos parâmetros, precisamos primeiro encontrar a solução geral da equação homogênea associada.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea:
Para isso, encontramos a equação característica:
Resolvendo essa equação quadrática:
Como temos uma raiz real dupla, a solução geral da homogênea é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa usando o método da variação dos parâmetros. Assumimos que:
Onde e são as soluções da homogênea.

Passo 4

Para encontrar e , usamos as seguintes condições:
Substituindo e :

Passo 5

Podemos resolver esse sistema de equações para e . Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Simplificando:
Portanto:

Passo 6

Integrando :
Desconsideramos a constante de integração pois estamos buscando uma solução particular.

Passo 7

Usando :
Integrando:
Novamente, desconsideramos a constante de integração.

Passo 8

Agora, substituímos e na expressão da solução particular:
Substituindo:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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