Calcule as seguintes integrais de linha.
integralC e^z d s, onde C: r(t)=(1,2, t^2), t in[0,1]

Passo 1

Vamos resolver uma integral de linha, que é um tipo de integral usada para calcular valores ao longo de uma curva no espaço. No nosso caso, queremos calcular integralC e^z , ds, onde a curva C é dada pela função vetorial r(t) = (1, 2, t^2) para t entre 0 e 1. Para isso, vamos precisar entender como parametrizar a curva, calcular o diferencial de arc length ( ds) e substituir tudo na integral para resolver.

Passo 2

Primeiro, precisamos parametrizar a curva C. Ela já está dada pela função vetorial r(t) = (1, 2, t^2). Isso significa que, para cada valor de t entre 0 e 1, temos um ponto na curva com coordenadas (x, y, z) = (1, 2, t^2).

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de r(t) em relação a t, que nos dará o vetor velocidade da curva. Calculando:
r'(t) = ( dxdt, dydt, dzdt ) = ( 0, 0, 2t )

Passo 4

O próximo passo é encontrar o comprimento do vetor derivada, que é o módulo de r'(t). Isso é feito usando a fórmula da norma:
|r'(t)| = raiz0^2 + 0^2 + (2t)^2 = raiz4t^2 = 2t

Passo 5

Agora, substituímos tudo na integral original. Sabemos que z = t^2, e ds = |r'(t)| dt = 2t , dt. Então, a integral fica:
integralC e^z , ds = integral0^1 e^t^2 cdot 2t , dt

Passo 6

Vamos resolver a integral integral0^1 2t e^t^2 , dt. Fazendo uma substituição simples para facilitar:
Se u = t^2, então du = 2t , dt. Assim, a integral se transforma em:
integralu=0^u=1 e^u , du

Passo 7

Integrando e^u em relação a u, temos:
integral e^u , du = e^u + C
Aplicando os limites de 0 a 1:
e^1 - e^0 = e - 1

Resposta

Portanto, o valor da integral de linha é boxede - 1.

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