Calcule as seguintes integrais de linha.
, onde

Passo 1

Vamos resolver uma integral de linha, que é um tipo de integral usada para calcular valores ao longo de uma curva no espaço. No nosso caso, queremos calcular , onde a curva é dada pela função vetorial para entre 0 e 1. Para isso, vamos precisar entender como parametrizar a curva, calcular o diferencial de arc length ( ) e substituir tudo na integral para resolver.

Passo 2

Primeiro, precisamos parametrizar a curva . Ela já está dada pela função vetorial . Isso significa que, para cada valor de entre 0 e 1, temos um ponto na curva com coordenadas .

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de em relação a , que nos dará o vetor velocidade da curva. Calculando:

Passo 4

O próximo passo é encontrar o comprimento do vetor derivada, que é o módulo de . Isso é feito usando a fórmula da norma:

Passo 5

Agora, substituímos tudo na integral original. Sabemos que , e . Então, a integral fica:

Passo 6

Vamos resolver a integral . Fazendo uma substituição simples para facilitar:
Se , então . Assim, a integral se transforma em:

Passo 7

Integrando em relação a , temos:
Aplicando os limites de 0 a 1:

Resposta

Portanto, o valor da integral de linha é .

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Encontre o wronskiano de duas soluções da equação diferencial dada.
. (Equação de Bessel).
Calcular todas as derivadas parciais de primeira ordem nos seguintes itens:
.
Determine as soluções gerais das equações diferenciais dadas:
Calcule as seguintes integrais de linha.
, onde