Calcule as seguintes integrais de linha.
, onde
Passo 1
Vamos resolver uma integral de linha, que é um tipo de integral usada para calcular valores ao longo de uma curva no espaço. No nosso caso, queremos calcular
, onde a curva
é dada pela função vetorial
para
entre 0 e 1. Para isso, vamos precisar entender como parametrizar a curva, calcular o diferencial de arc length (
) e substituir tudo na integral para resolver.
Passo 2
Primeiro, precisamos parametrizar a curva
. Ela já está dada pela função vetorial
. Isso significa que, para cada valor de
entre 0 e 1, temos um ponto na curva com coordenadas
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada de
em relação a
, que nos dará o vetor velocidade da curva. Calculando:
Passo 4
O próximo passo é encontrar o comprimento do vetor derivada, que é o módulo de
. Isso é feito usando a fórmula da norma:
Passo 5
Agora, substituímos tudo na integral original. Sabemos que
, e
. Então, a integral fica:
Passo 6
Vamos resolver a integral
. Fazendo uma substituição simples para facilitar:
Se , então
. Assim, a integral se transforma em:
Se
Passo 7
Integrando
em relação a
, temos:
Aplicando os limites de 0 a 1:
Resposta
Portanto, o valor da integral de linha é
.
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. (Equação de Bessel).
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.
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Calcule as seguintes integrais de linha.
, onde