Encontre o wronskiano de duas soluções da equação diferencial dada.
. (Equação de Bessel).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o wronskiano de duas soluções da equação diferencial de Bessel que é dada por:
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais de segunda ordem, e para resolver vamos precisar entender o que é o wronskiano e como calculá-lo para essas soluções.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o wronskiano. Para duas funções
e
, o wronskiano é definido como:
O wronskiano nos ajuda a verificar a independência linear das soluções da equação diferencial.
Passo 3
Agora, vamos adaptar a equação de Bessel para a forma padrão de uma equação diferencial linear de segunda ordem, que é:
Dividindo toda a equação de Bessel por
para isolar
, temos:
Aqui, identificamos que:
Passo 4
Sabendo que para uma equação na forma padrão, o wronskiano pode ser calculado usando a fórmula:
Vamos substituir
na integral:
Então, o wronskiano fica:
Passo 5
Para determinar a constante
, consideramos especialmente as funções de Bessel
e
, que são soluções independentes da equação de Bessel. O wronskiano dessas funções é conhecido e dado por:
Comparando com a expressão geral que encontramos, vemos que
.
Resposta
O wronskiano das duas soluções da equação de Bessel é:
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Calcular todas as derivadas parciais de primeira ordem nos seguintes itens:
.
Resolva a equação diferencial
Calcule as seguintes integrais de linha.
, onde
Determine as soluções gerais das equações diferenciais dadas: