Resolva a equação diferencial
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar conhecer soluções da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa. Isso envolve conceitos de superposição de soluções e métodos para encontrar soluções específicas.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, assumimos que a solução tem a forma:
Substituindo na equação homogênea:
Como
nunca é zero, temos:
Passo 3
Com raízes complexas, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui,
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se forem fornecidas.
Passo 4
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa:
A soma no lado direito sugere que devemos encontrar uma solução particular para cada termo
e somá-las.
Passo 5
Para cada termo
, assumimos uma solução particular da forma:
Onde
é uma constante a ser determinada.
Passo 6
Substituindo
na equação diferencial:
Para que a igualdade seja válida para todo
, os coeficientes devem ser iguais:
Passo 7
Portanto, a solução particular para cada
é:
Passo 8
A solução particular geral é a soma de todas as soluções particulares individuais:
Passo 9
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Use o método da variação dos parâmetros para obter a solução geral das seguintes equações diferenciais:
a)
a)
Determine se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule-a.
Calcular todas as derivadas parciais de primeira ordem nos seguintes itens:
.
Encontre o wronskiano de duas soluções da equação diferencial dada.
. (Equação de Bessel).