Resolva a equação diferencial

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar conhecer soluções da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa. Isso envolve conceitos de superposição de soluções e métodos para encontrar soluções específicas.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, assumimos que a solução tem a forma:
Substituindo na equação homogênea:
Como nunca é zero, temos:

Passo 3

Com raízes complexas, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui, e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se forem fornecidas.

Passo 4

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
A soma no lado direito sugere que devemos encontrar uma solução particular para cada termo e somá-las.

Passo 5

Para cada termo , assumimos uma solução particular da forma:
Onde é uma constante a ser determinada.

Passo 6

Substituindo na equação diferencial:
Para que a igualdade seja válida para todo , os coeficientes devem ser iguais:

Passo 7

Portanto, a solução particular para cada é:

Passo 8

A solução particular geral é a soma de todas as soluções particulares individuais:

Passo 9

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

Use o método da variação dos parâmetros para obter a solução geral das seguintes equações diferenciais:
a)
Determine se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule-a.
Calcular todas as derivadas parciais de primeira ordem nos seguintes itens:
.
Encontre o wronskiano de duas soluções da equação diferencial dada.
. (Equação de Bessel).