Resolva a equação diferencial
y^prime prime+7 y=sumi=3^n e^3 i t

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
y'' + 7 y = sumi=3^n e^3 i t
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar conhecer soluções da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa. Isso envolve conceitos de superposição de soluções e métodos para encontrar soluções específicas.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
y'' + 7 y = 0
Para isso, assumimos que a solução tem a forma:
y = e^rt
Substituindo na equação homogênea:
r^2 e^rt + 7 e^rt = 0 e^rt(r^2 + 7) = 0
Como r^2 + 7 = 0 r^2 = -7 r = pm raiz-7 = pm i raiz7 nunca é zero, temos:

Passo 3

Com raízes complexas, a solução geral da equação homogênea é:
yh(t) = C1 cos(raiz7, t) + C2 sin(raiz7, t)
Aqui, e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se forem fornecidas.

Passo 4

Agora, vamos encontrar uma solução particular y'' + 7 y = sumi=3^n e^3 i t para a equação completa:
A soma no lado direito sugere que devemos encontrar uma solução particular para cada termo e somá-las.

Passo 5

Para cada termo ypi(t) = Ai e^3 i t , assumimos uma solução particular da forma:
Onde é uma constante a ser determinada.

Passo 6

Substituindo ypi'' + 7 ypi = e^3 i t (9 i^2 Ai e^3 i t) + 7 Ai e^3 i t = e^3 i t Ai ( -9 i^2 + 7 ) e^3 i t = e^3 i t na equação diferencial:
Ai ( -9 i^2 + 7 ) = 1 Ai = 17 - 9 i^2
Para que a igualdade seja válida para todo , os coeficientes devem ser iguais:

Passo 7

Portanto, a solução particular para cada ypi(t) = 17 - 9 i^2 e^3 i t é:

Passo 8

A solução particular geral é a soma de todas as soluções particulares individuais:
yp(t) = sumi=3^n 17 - 9 i^2 e^3 i t

Passo 9

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
y(t) = yh(t) + yp(t) = C1 cos(raiz7, t) + C2 sin(raiz7, t) + sumi=3^n 17 - 9 i^2 e^3 i t

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(t) = C1 cos(raiz7, t) + C2 sin(raiz7, t) + sumi=3^n 17 - 9 i^2 e^3 i t

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