Calcular todas as derivadas parciais de primeira ordem nos seguintes itens:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular todas as derivadas parciais de primeira ordem da função
. Estamos lidando com Cálculo Diferencial, especificamente com derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar aplicar as regras de derivação para funções de duas variáveis, incluindo a regra do quociente e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. A função é um quociente, então vamos usar a regra do quociente:
Aqui,
e
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Passo 4
Agora, substituímos na fórmula do quociente:
Simplificando as expressões:
Simplificando mais:
Passo 5
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Usando a mesma regra do quociente:
Onde
e
.
Passo 6
Calculamos as derivadas parciais necessárias:
Passo 7
Substituímos na fórmula do quociente:
Simplificando as expressões:
Simplificando mais:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função são:
e