Calcular todas as derivadas parciais de primeira ordem nos seguintes itens: f(x, y) = (2x + 2y) / raiz(y - x).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular todas as derivadas parciais de primeira ordem da função . Estamos lidando com Cálculo Diferencial, especificamente com derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar aplicar as regras de derivação para funções de duas variáveis, incluindo a regra do quociente e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . A função é um quociente, então vamos usar a regra do quociente:
Aqui, e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:

Passo 4

Agora, substituímos na fórmula do quociente:
Simplificando as expressões:
Simplificando mais:

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Usando a mesma regra do quociente:
Onde e .

Passo 6

Calculamos as derivadas parciais necessárias:

Passo 7

Substituímos na fórmula do quociente:
Simplificando as expressões:
Simplificando mais:

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função são:
e

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