Calcular todas as matrizes A, quadradas reais de ordem 2 , tais que A^2=A.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar todas as matrizes quadradas reais de ordem 2 que satisfazem a equação . Isso está relacionado ao estudo de matrizes idempotentes na álgebra linear. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa que uma matriz ao quadrado seja igual a ela mesma e explorar as características dessas matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar uma matriz quadrada A = a & b c & d de ordem 2, que podemos escrever da seguinte forma:

Passo 3

Queremos que A^2 = A cdot A = a & b c & d cdot a & b c & d = a^2 + b c & a b + b d c a + d c & c b + d^2 . Vamos calcular :

[
A^2 = A \cdot A =
\cdot


]

Passo 4

Agora, igualamos a^2 + b c & a b + b d c a + d c & c b + d^2 = a & b c & d a :

[


]
Isso resulta em um sistema de equações:

Passo 5

Vamos resolver esse sistema de equações passo a passo. Primeiro, observamos que muitas dessas equações podem ser fatoradas:
  • Da equação 2: . Se , então .
  • Da equação 3: . Similarmente, se , então .
Portanto, uma das condições é , especialmente se ou forem diferentes de zero.

Passo 6

Vamos analisar os casos possíveis:
Caso 1: 0 & 0 0 & 0 , 1 & 0 0 & 0 , 0 & 0 0 & 1 , 1 & 0 0 & 1 e
Neste caso, as equações simplificam para:
  1. ou
  2. ou
Então, as matrizes possíveis são:
Caso 2: ou , então
Vamos assumir . Substituindo nas equações restantes:
Da equação 1:
Da equação 4:
Simplificando:
Notamos que , que é a mesma equação da equação 1. Portanto, não há novas restrições além de e .

Passo 7

Vamos resumir as soluções:
  1. Matrizes diagonais onde e .
  2. Matrizes não diagonais onde e .
Para o segundo caso, podemos expressar uma das variáveis em termos das outras. Por exemplo, se escolhermos , podemos determinar e então .

Resposta

Todas as matrizes 0 & 0 0 & 0 , 1 & 0 0 & 0 , 0 & 0 0 & 1 , 1 & 0 0 & 1 de ordem 2 que satisfazem a & b c & 1 - a são:
  1. Matrizes diagonais:
  1. Matrizes não diagonais onde e , por exemplo:
onde é real e .

Exercícios relacionados

Considere a questão:
Verifique se S é um subespaço vetorial de R^3, para adição e multiplicação por escalar, usuais. Justifique.Um estudante respondeu da seguinte maneira:
Linha 2: i) u+v=(x1, y1, raizx1+y1)+(x2, y2, raizx2+y2)=(x1+x2, y1+y2, raizx1+x2+y1+y2) in S
Reescreva cada linha da solução corrigindo o(s) erro(s) cometidos pelo estudante. Se estiver correta, escrever
Linha 2:
Calcule o único valor de a que faz com que
S=(1,1,1),(1,0,1),(0,2,0),(3,2, a)
não seja um conjunto gerador de R^3.
Considere R^2 com o produto interno usual. Determine o ângulo entre os vetores:
b. (raiz22, raiz22) e (raiz32, raiz32).
Verifique se o operador linear dado é diagonalizável.
b. T: R^2 R^2, T(x, y, z)=(2 x, 2 y,-x+y+2 z).