Calcular todas as matrizes
, quadradas reais de ordem 2 , tais que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar todas as matrizes quadradas reais de ordem 2 que satisfazem a equação
. Isso está relacionado ao estudo de matrizes idempotentes na álgebra linear. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa que uma matriz ao quadrado seja igual a ela mesma e explorar as características dessas matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar uma matriz quadrada
de ordem 2, que podemos escrever da seguinte forma:
Passo 3
Queremos que
. Vamos calcular
:
[
A^2 = A \cdot A =
\cdot
]
Passo 4
Agora, igualamos
a
:
[
]
Isso resulta em um sistema de equações:
Passo 5
Vamos resolver esse sistema de equações passo a passo. Primeiro, observamos que muitas dessas equações podem ser fatoradas:
- Da equação 2:
. Se , então . - Da equação 3:
. Similarmente, se , então .
Portanto, uma das condições é
, especialmente se
ou
forem diferentes de zero.
Passo 6
Vamos analisar os casos possíveis:
Caso 1:
e
Neste caso, as equações simplificam para:
-
⇒ ⇒ ou -
⇒ ⇒ ou
Então, as matrizes possíveis são:
Caso 2:
ou
, então
Vamos assumir
. Substituindo
nas equações restantes:
Da equação 1:
Da equação 4:
Simplificando:
Notamos que
, que é a mesma equação da equação 1. Portanto, não há novas restrições além de
e
.
Passo 7
Vamos resumir as soluções:
- Matrizes diagonais onde
e . - Matrizes não diagonais onde
e .
Para o segundo caso, podemos expressar uma das variáveis em termos das outras. Por exemplo, se escolhermos
, podemos determinar
e então
.
Resposta
Todas as matrizes
de ordem 2 que satisfazem
são:
- Matrizes diagonais:
- Matrizes não diagonais onde
e , por exemplo:
onde
é real e
.
Exercícios relacionados
Considere a questão:
Verifique se é um subespaço vetorial de
, para adição e multiplicação por escalar, usuais. Justifique.Um estudante respondeu da seguinte maneira:
Linha 2: i)
Reescreva cada linha da solução corrigindo o(s) erro(s) cometidos pelo estudante. Se estiver correta, escrever
Linha 2:
Verifique se
Linha 2: i)
Reescreva cada linha da solução corrigindo o(s) erro(s) cometidos pelo estudante. Se estiver correta, escrever
Linha 2:
Calcule o único valor de
que faz com que
não seja um conjunto gerador de
.
Considere
com o produto interno usual. Determine o ângulo entre os vetores:
b. e
.
b.
Verifique se o operador linear dado é diagonalizável.
b. .
b.