Vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um conjunto com quatro vetores em , que são:
O objetivo é encontrar o único valor de que faz com que não seja um conjunto gerador de . Isso significa que, para esse valor de , os vetores de não conseguem gerar todo o espaço tridimensional.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de combinação linear e determinantes para verificar a independência linear dos vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um conjunto de vetores gera se, por meio de combinações lineares, conseguimos formar qualquer vetor em . Porém, isso só acontece se os vetores forem linearmente independentes e houver pelo menos três vetores.
Como temos quatro vetores, eles são mais que suficientes para gerar , a menos que estejam dependentes, ou seja, um dos vetores pode ser escrito como combinação dos outros.
Passo 3
Para verificar a independência linear, vamos montar uma matriz com os vetores como colunas e calcular o determinante. Se o determinante for zero, os vetores são linearmente dependentes.
Vamos montar a matriz:
Como temos quatro vetores, vamos considerar apenas três deles para calcular o determinante. Vamos escolher os três primeiros vetores:
O determinante é zero, então os três primeiros vetores já são dependentes.
Passo 4
Como os três primeiros vetores são dependentes, o conjunto já não gera , independentemente do valor de . Porém, a questão pede um valor específico de para que não seja gerador. Isso indica que devemos considerar um cenário onde a inclusão do quarto vetor não compensa a dependência existente.
Para isso, vamos considerar que o quarto vetor também está na combinação dos outros, de forma que o conjunto continue dependente.
Passo 5
Vamos expressar o quarto vetor (3,2,a) = x(1,1,1) + y(1,0,1) + z(0,2,0) como uma combinação linear dos três primeiros vetores 1x + 1y + 0z = 3 1x + 0y + 2z = 2 1x + 1y + 0z = a , x + y = 3 Rightarrow x = 3 - y e x + 2z = 2 Rightarrow 3 - y + 2z = 2 Rightarrow -y + 2z = -1 Rightarrow y = 2z + 1 :
x + y = a Rightarrow (3 - y) + y = a Rightarrow 3 = a
Isso nos dá o sistema de equações:
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
Da segunda equação:
Da terceira equação:
Resposta
O único valor de que faz com que não seja um conjunto gerador de é .