Calcule o único valor de a que faz com que
S=(1,1,1),(1,0,1),(0,2,0),(3,2, a)
não seja um conjunto gerador de R^3.

Passo 1

Vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um conjunto S = (1,1,1), (1,0,1), (0,2,0), (3,2,a) com quatro vetores em , que são:
O objetivo é encontrar o único valor de que faz com que não seja um conjunto gerador de . Isso significa que, para esse valor de , os vetores de não conseguem gerar todo o espaço tridimensional.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de combinação linear e determinantes para verificar a independência linear dos vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um conjunto de vetores gera se, por meio de combinações lineares, conseguimos formar qualquer vetor em . Porém, isso só acontece se os vetores forem linearmente independentes e houver pelo menos três vetores.
Como temos quatro vetores, eles são mais que suficientes para gerar , a menos que estejam dependentes, ou seja, um dos vetores pode ser escrito como combinação dos outros.

Passo 3

Para verificar a independência linear, vamos montar uma matriz com os vetores como colunas e calcular o determinante. Se o determinante for zero, os vetores são linearmente dependentes.
Vamos montar a matriz:
M = 1 & 1 & 0 & 3 1 & 0 & 2 & 2 1 & 1 & 0 & a
Como temos quatro vetores, vamos considerar apenas três deles para calcular o determinante. Vamos escolher os três primeiros vetores:
M' = 1 & 1 & 0 1 & 0 & 2 1 & 1 & 0
Calculando o determinante de det(M') = 1 cdot (0 cdot 0 - 2 cdot 1) - 1 cdot (1 cdot 0 - 2 cdot 1) + 0 cdot (1 cdot 1 - 0 cdot 1) = -2 + 2 + 0 = 0 :
O determinante é zero, então os três primeiros vetores já são dependentes.

Passo 4

Como os três primeiros vetores são dependentes, o conjunto já não gera , independentemente do valor de . Porém, a questão pede um valor específico de para que não seja gerador. Isso indica que devemos considerar um cenário onde a inclusão do quarto vetor não compensa a dependência existente.
Para isso, vamos considerar que o quarto vetor também está na combinação dos outros, de forma que o conjunto continue dependente.

Passo 5

Vamos expressar o quarto vetor (3,2,a) = x(1,1,1) + y(1,0,1) + z(0,2,0) como uma combinação linear dos três primeiros vetores 1x + 1y + 0z = 3 1x + 0y + 2z = 2 1x + 1y + 0z = a , x + y = 3 Rightarrow x = 3 - y e x + 2z = 2 Rightarrow 3 - y + 2z = 2 Rightarrow -y + 2z = -1 Rightarrow y = 2z + 1 :
x + y = a Rightarrow (3 - y) + y = a Rightarrow 3 = a
Isso nos dá o sistema de equações:
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
Da segunda equação:
Da terceira equação:

Resposta

O único valor de que faz com que não seja um conjunto gerador de é .

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Considere o subespaço S do R^5 gerado pelos vetores A=(1,1,1,1,1),(2,1,0,1,2),(3,3,0,3,3).
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Seja V um espaço vetorial real com produto interno lang<=, rang<= Mostre as seguintes propriedades:
a. |u+v|^2=|u|^2+2lang<= u, vrang<=+|v|^2 ;
Considere a questão:
Verifique se S é um subespaço vetorial de R^3, para adição e multiplicação por escalar, usuais. Justifique.Um estudante respondeu da seguinte maneira:
Linha 2: i) u+v=(x1, y1, raizx1+y1)+(x2, y2, raizx2+y2)=(x1+x2, y1+y2, raizx1+x2+y1+y2) in S
Reescreva cada linha da solução corrigindo o(s) erro(s) cometidos pelo estudante. Se estiver correta, escrever
Linha 2:
Calcular todas as matrizes A, quadradas reais de ordem 2 , tais que A^2=A.